数组练习

Question

我试图解决这个问题： 给定一个 sorted 数组，其中包含从 0 开始的 连续 整数（一个整数可以重复多次）例如 - 0,0,0,1,2,3,3,3,4,4(也可以很长 - 这只是一个example) ，有效地找到给定整数的开始和结束索引。

我正在考虑使用

1)遍历(复杂度 = O(n))

2) 修改后的二分查找（复杂度 =O(log n)）。 [ n = 总数组长度]

然后想知道是否可以利用连续整数属性来解决它。 有什么不同的想法或建议吗？

Answer 1

首先，让我们忽略“连续性”属性

只要问题在于找到处理单个单个请求的最有效方法，直接的通用解决方案将是执行两个连续的二进制搜索：第一个找到序列，第二个找到序列的结尾。第二次搜索在数组的其余部分执行，即在先前找到的序列开头的右侧。

但是，如果您以某种方式知道序列的平均长度相对较小，那么将第二次二分搜索替换为 线性 搜索就开始有意义了. （这与合并两个相似长度的排序序列时的原理相同：线性搜索优于二分搜索，因为输入的结构保证平均搜索目标位于序列开头附近）。

更正式地说，如果整个数组的长度是n，并且数组中不同整数值的数量（多样性指标）是k，那么平均而言，当n/k 时，线性搜索开始优于二分搜索变得比log2(n) 小（可能需要一些依赖于实现的常数因子来建立实际关系）。

说明这种效果的极端例子是n=k 时的情况，即当数组中的所有值都不同时。显然，使用线性搜索找到每个序列的结尾（一旦你知道开始）将比使用二分搜索更有效。

但这需要额外了解输入数组的属性：我们需要知道k。

这就是你的“连续性”属性发挥作用的时候！

由于数字是连续的，因此数组中的最后一个值减去数组中的第一个值等于k-1，即

k = array[n-1] - array[0] + 1

此规则也可以应用于原始数组的任何子数组，以计算该子数组的多样性指标。

这已经为您提供了一种非常可行且高效的序列查找算法：首先对序列的开头执行二进制搜索，然后执行 binary 或 linear 根据n 和k 之间的关系进行搜索（或者更好的是，在右子数组的长度和右子数组的品种度量之间）。

附：同样的技术也可以应用于第一次搜索。如果您正在寻找i 的序列，那么您立即知道它是数组中的第j 序列，其中j = i - array[0]。这意味着对该序列开头的线性搜索平均需要j * n/k 步。如果这个值小于log2(n)，线性搜索可能比二分搜索更好。

Answer 2

您可以查看开始和结束元素以查看数组中有多少个元素k，然后对每个边界进行修改后的二进制搜索，检查元素及其左右.我认为你不能比 O(k log(n)) 更快。

如果您按从左到右（或从右到左）的顺序搜索边界，则应该减少平均时间，因为您可以在数组的较小子集中进行搜索，但我认为这不会影响最坏情况的复杂性。

即检查索引i及其相邻元素，寻找0-1边界：

|0|0|0|1|1|1|1|1|2|2|2 \ 一世 /

然后向左走：

|0|0|0|1|1|1|1|1|2|2|2 \ 一世 /

既然你找到了，现在在它右边的集合中寻找 1 和 2 之间的边界：

1|1|1|1|1|2|2|2 \ 一世 / 1|1|1|1|1|2|2|2 \ 一世 /

你已经完成了，因为你知道你在寻找多少边界。

编辑：对不起，我没有意识到你只想要一个边界。该过程是相似的-您找到要搜索的元素（即 O(log(n)) ），然后使用相同的修改后的搜索向左和向右搜索以检查边界。根据数组的整体大小与数组中的项目数，实际上只检查一侧或另一侧可能会更快。

Answer 3

您的数组已排序，因此您可以使用二分搜索。假设n 是数组A 的大小，将A 分为A1 和A2，大小分别为(n/2) 或分别为(n/2) 和(n/2) + 1，如果n 是奇数.您正在寻找 j 的起始索引。 （j 在 A 中）

 1. if A1(n/2) < j, then you know that j is in A2. 
 2. if A2(1) > j, then you know that j is in A1. 
 3. If A2(1) = j, then j may be in A1 and A2. Just check A1(n/2).
     if A1(n/2) < j then 2. Do the same recursively on A2 to find the last index
     else apply dichotomic search to find the starting index and ending index in both arrays

Answer 4

它必须是一种算法吗？你的问题只是说找到位置，但如果它确实是某种形式的算法方法，请告诉我，因为我提供了一个 PHP 函数，它以相当标准的方式处理这个问题。

$numbers = array(0,0,0,1,2,3,3,4,4,4,4);
function get_boundaries($array,$number)
{
    $keys = array_keys($array,$number);
    $found = count($keys);
    if($found == 0)
    {
        $ret = false;
    }
    else if($found == 1)
    {
        $ret = array($keys[0],$keys[0]);
    }
    else if($found > 1)
    {
        $ret = array($keys[0],$keys[$found-1]);
    }
    return $ret;
}

$result = get_boundaries($numbers,1);
print_r($result);


//Result when looking for 0
Array
(
    [0] => 0
    [1] => 2
)

//Result when looking for 1
Array
(
    [0] => 3
    [1] => 3
)

//Result when looking for 9
(boolean) false