执行求幂的最快算法是什么？为简单起见，我们假设自然数基数和指数。
高效的数学库会使用什么？
（当我搜索它时，我只会得到与在指数时间内运行的算法有关的结果。）
【问题讨论】：
标签： algorithm math language-agnostic
上述所有二进制方法的问题在于它们仅限于整数。如果“取幂”是指计算 e^x 函数，那么我所见过的最好的方法是快速收敛的幂级数，以及在有限范围内有效的多项式、有理或 Pade 近似。
有一件事是肯定的：如果您找到了一种将 e^x 精确到小数点后 96 位的快速算法，那么您还将找到一种更快的计算日志的方法（Newton-Raphson）。事实上，Newton-Raphson 是二次收敛的，因此每次迭代都会使日志中的精度位数加倍。这是 UCLA 的 Nate Grossman 在 Forth 时代的最爱。
在四键计算器时代，我曾经使用 e^x = (1+x/1024)^10。当然，对于非常大或非常小的 x 来说，这会失效，但是您可以看到它为什么起作用。如果你有一个平方根按钮，你可以颠倒这个想法来获得对数。但是指数函数不需要平方根。
我想知道是否有一些 AGM 算法的反演可以做指数函数...嗯....
【讨论】：
对于小指数，Python 使用二进制取幂（一种平方取幂），如 http://svn.python.org/view/python/trunk/Objects/longobject.c?view=markup&pathrev=65518 的第 2874 行所示
对于较大的指数，它使用 2^5 元取幂（另一种平方取幂）。
如果您只关心结果的最高有效数字，那么您可以非常快速地计算出 x^y=exp(y*log(x))。
如果您只关心结果的最低有效数字（例如，对于编程比赛），那么您可以计算以某个值 M 为模的指数。例如，Python 命令 pow(x,y,1000) 将计算x 的最后 3 位数字的 y 次幂。它通过平方取幂的方法做到这一点，但请注意，这可能比计算完整结果要快得多，因为它确保中间数永远不会大于 M。
作为一个额外的转折点（如果您只对最不重要的数字感兴趣），您可以使用欧拉定理 http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem 来减小指数的大小。
【讨论】：
如果你有给定的自然数 u 和给定的输入 m，要计算 u^m，你可以应用以下算法
q = m;
prod = 1;
current = u;
while q > 0 do
if (q mod 2) = 1 then // detects the 1s in the binary expression of m
prod = current * prod; // picks up the relevant power
q--;
endif
current = current * current; // u^i -> u^(2*i)
q = q div 2
enddo
output = prod;
所以基本上如果你有，比如说，u^23 您将 23 转换为二进制 -> 10111(base 2) 然后你得到 u^23 = u^16 * u^4 * u^2 * u^1 （没有 u^8，因为从左到右的 2 位是 0）
如果你认为 n 是 log(m)_10 + 1，复杂度是 O(log(m)) 或 O(n)
【讨论】：