在多项式时间内使用 DFS 的最小命中集算法答案

【问题标题】：Minimum Hitting Set algorithm using DFS in polynomial time在多项式时间内使用 DFS 的最小命中集算法
【发布时间】：2016-02-15 05:01:30
【问题描述】：

我需要编写一个算法来找到给定无向图的最小命中集 F，即在图的每个循环中包含最小边的集合，使得 F 和任何给定循环的交集不为空。我编写了一个算法，它使用深度优先搜索来查找图中所有可能的循环，然后在每个循环中获取最小边并将其放入一个集合中（我在其中删除重复项）。

但是，我被要求在多项式时间内完成这项任务，我不太确定我的算法能做到这一点。例如，我添加了一个计数器来解决从 A 开始的以下图表，并且我的 DFS 方法被调用了 34 次：

谁能帮我算出我写的算法的运行时间？它很实用，但似乎效率很低。谢谢

这是我的 DFS 方法的代码。 MHS 是类似节点的基本数据结构。它们有一个标签和一个链接列表，其中包含一个端点（另一个节点）和一个与之关联的整数值）。循环只是一个包含所有循环的 ArrayList，它们本身表示为边缘值的 ArrayList。

我使用了这篇文章https://stackoverflow.com/a/549312/1354784中描述的方法。

public static void DFS(MHS v){
    ++counter;
    if(v.visited){
        MHS current=v.predecessor;
        ArrayList<Integer> currEdges=new ArrayList<Integer>();
        currEdges.add(getEdgeValue(current, v));
        while(!current.equals(v)){
            MHS p=current.predecessor;
            if(p==null)
                break;
            currEdges.add(getEdgeValue(p, current));
            current=p;
        }
        if(currEdges.size()>0)
            cycles.add(currEdges);
    }else{
        v.visited=true;
        for(int i=0;i<v.links.size();i++){
            MHS w=v.links.get(i).next;
            if(v.predecessor==null || !v.predecessor.equals(w)){
                if(v.visited){
                    MHS ok=w.predecessor;
                    w.predecessor=v;
                    DFS(w);
                    w.predecessor=ok;
                }else{
                    w.predecessor=v;
                    DFS(w);
                }
            }
        }
        v.visited=false;
    }
}

【问题讨论】：

标签： java algorithm recursion graph depth-first-search

【解决方案1】：

你真的从找出图中的每个循环开始吗？如果你有完整的图 Kn，其中每对节点都是连接的，那么任何大小的节点的每个有序集合都定义了一个循环，因此循环的数量是指数级的。

你可以试试

While (there are any cycles left)
  Find a cycle
  find the shortest edge in that cycle
  remove that edge from the graph

这应该是多项式时间，因为每次循环 while 循环都会从图中删除一条边，迟早你会用完边。

但我不确定这是否能回答您的问题。我还注意到，命中集合的标准定义是一个 NP 完全问题，通过集合覆盖 - https://en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem#Hitting_set_formulation

【讨论】：

我想我明白了。为了得到命中集，我只需要考虑每个循环中的最小边，所以我认为我可以找到图中的最小生成树，而不是在图中找到所有循环，并且这些边对应于我的边寻找。

【解决方案2】：

事实证明，没有必要考虑图表中的所有周期。我们可以简单地调整最小生成树的循环属性，即循环中成本最高的边不会包含在 MST 中。同样的属性，应用于最大生成树，告诉我们循环中成本最低的边不会包含在最大 ST 中。

为了解决这个问题，我们只需要找到 G 的最大 ST（通过适应 Kruskal 算法）并返回 G 中所有尚未添加到树中的边。

【讨论】：