如何计算具有 3 个有效值的 NxM 网格的不同组合

Question

我有 3 个有效值：a、b、c 我可以将它们插入 Nx3 网格中，这样任何行或列都不会包含相同值的单元格。如何计算可以使用 N 行创建的有效模式的数量？

例如，如果 N = 4，则有效模式的总数为 296490。

这是我的尝试：

def countPatterns(n):

    dp1, dp2 = 6,6
    mod = 10 ** 9 + 7
    
    for i in range(2, n+1):
        dp1, dp2 = (dp1 * 3 + dp2 * 2) % mod, (dp1 * 2 + dp2 * 2) % mod
    return (dp1 + dp2) % mod

当 N = 4 时，输出应该是 174，但我得到的是 54。

Answer 1

这可以使用组合学中的标准技术来解决。

import math


# Counts the number of grids where the first i rows and first j columns are
# monochrome. All of the monochrome rows and columns must have the same color if
# and only if both i and j are nonzero. Otherwise, the color choices are
# independent.
def count_monochrome(n, i, m, j):
    return 3 ** (1 if i and j else i + j) * 3 ** ((n - i) * (m - j))


# Uses inclusion-exclusion to count the number of grids with no monochrome row
# or column.
def count(n, m=3):
    # There are math.comb(n, i) * math.comb(m, j) intersections with i
    # monochrome rows and j monochrome columns.
    return sum(
        math.comb(n, i)
        * math.comb(m, j)
        * (-1) ** (i + j)
        * count_monochrome(n, i, m, j)
        for i in range(n + 1)
        for j in range(m + 1)
    ) % (10 ** 9 + 7)


print(count(4))

Answer 2

简答

这也可以用数学方法求解，所以公式为：

24ⁿ - (9 * 8ⁿ - 9 * 2ⁿ - 18 * 3ⁿ + 24)

def countPatterns(n):
    result = 24**n - (9 * 8**n - 9*2**n - 18*3**n + 24)
    mod = 10 ** 9 + 7
    return result % mod

print (countPatterns(4)) 

296490

长答案

1。条件：没有行包含相同的值

对于给定的行，有3 方法可以在每个单元格中设置颜色。因此，有 3³=27 种可能的组合。但是，在这些27 组合中，3 是GGG、BBB 和RRR。因此，必须排除它们，并且一行中的有效组合数为27 - 3 = 24。

因此，n 行表的组合总数为 24ⁿ

2。条件：没有一列包含相同的值

为了解决这种情况，我们可以统计所有“无效组合”，然后从总数中减去它们的数量（如上一节所述，为 24ⁿ）。

2.1 无效组合

1. 只有第一列具有相同的值。
2. 只有第二列具有相同的值。
3. 只有第三列具有相同的值。
4. 只有前 2 列具有相同的值（第一列中的值不一定等于另一列）。
5. 只有最后 2 列具有相同的值。
6. 只有第一列和最后一列具有相同的值。
7. 每列中的值相等。

显然，1 的组合数等于2 和3。 4、5 和 6 也是如此。

如果我们将1 到7 的组合相加，那么我们将得到总数。

但是，很难单独计算 (1)-(7)，但更容易计算组合的数量，以使至少 k 列具有相同的值。找到这些组合后，我们将应用inclusion-exclusion principle 来查找问题中提出的组合数量。

2.1.1 第一列具有相同的值

对于每一行，都有8 组合，因此该行以R 开头：

RRG
RRB
RGR
RGG
RGB
RBR
RBG
RBB

这意味着对于带有n 的表，有 8ⁿ 种组合，其中第一列由8s 组成。其中，有3*8ⁿ种组合，第一列从R、G或B开始。

现在，重要的是要意识到这个数字代表 4 无效案例 - 1、4、6 和 7（包含第一列的所有列集）。

2.1.2 第二列具有相同的值

基本上，我们可以用和上面一样的逻辑来实现它也是3*8ⁿ。

这代表2、4、5 和7。

2.1.3 第三列具有相同的值

和以前一样 - 3*8ⁿ.

这包括3、5、6 和7。

如果我们将这些 3 步骤的组合相加，我们将得到 9*8ⁿ。但是，如这些步骤中所述，我们将计算 4、5 和 6 两次。 7 将被计算三次。

2.1.4 2列具有相同的值

让我们计算2 第一列的数量，因为每对列的数量仍然相同。

如果一行以2 相同的颜色开头，则每种颜色都有2 组合。如果不是，则每对都有3 组合（有6 可能的对）。因此，组合的总数为 3 * 2ⁿ + 6 * 3ⁿ。

因此，4 和 7 的组合数为 3 * 2ⁿ + 6 * 3ⁿ。

5 和 7 的组合数为 3 * 2ⁿ + 6 * 3ⁿ。

6 和 7 的组合数为 3 * 2ⁿ + 6 * 3ⁿ。

2.1.5 每列内的值相等

这意味着所有行必须相等。由于只有24 方法可以构造一行，所以有24 方法可以使列内的所有值相等。所以，它是 24。

无效案例总数

如前所述，如果我们将2.1.1、2.1.2和2.1.3相加，那么我们将计数@987654378 @、5 和 6 两次，7 - 3 次（来自 2.1）。由于每对列的组合数相同，我们只需减去 3 * 2ⁿ + 6 * 2ⁿ @987654383 @times（从 2.1.4 开始），然后将三列 case 的组合数相加一次（因为减法后就不存在了）。

9 * 8ⁿ - 3 * (3 * 2ⁿ + 6 * 3ⁿ) + 24 = 9 * 8ⁿ - 9 * 2ⁿ - 18 * 3ⁿ + 24

3。最终答案

现在，只需从 24ⁿ 中减去无效案例的数量：

24ⁿ - (9 * 8ⁿ - 9 * 2ⁿ - 18 * 3ⁿ + 24)

不要忘记在最后应用 10⁹ + 7 的模运算。