如何优化算法以将数字分解为两个平方和？

Question

我有一个简单的数学算法。它所做的只是接受一个输入并找到 i,j 使得 i^2 + j^2 = input 具有 j >= i 的限制（这样它就不会打印它的对应物，例如 2^2 + 3^ 2 == 3^2 + 2^2 但我只需要后者作为 j >= i)

对于我的代码，我执行了以下操作：我有 2 个 for 循环，第一个循环用于 i，第二个循环用于 j。同时获取 i 和 j 值并测试 i^2 + j^2 == 输入以及 j >= i。如果是，请打印并更新计数。

问题是，对于大量的值，它需要很长时间，因为它从 1 到 2000 循环两次，然后又从 1 到 2000 循环。

def some_mathfn(n):
    count = 0
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,n+1):
            if(i**2 + j**2 == n and j >= i):
                g = print(i, '^2 + ', j,'^2')
                count += 1
    return count

some_mathfn(2001)

Answer 1

你有一个 O(n²) 算法没有明显的原因。很容易做到这个 O(n^1/2)...

• 从 1 循环到 n/2 的平方根（对于变量 i） - 因为当 i 大于 sqrt(n/2) 时，i*i + j*j 将大于 n 对于任何大于 j比i。
  • （只求n的平方根，因为
• 减去i的平方
• 取结果的平方根，并找到最接近的整数 - 称之为j
• 检查您感兴趣的条件是否成立

最后两个步骤实际上只是检查n - i*i 的平方根实际上是一个整数，但在某些情况下（对于非常大的 n 值）找到最接近的整数然后检查条件可能更可靠方法，为了避免浮点限制导致问题，其中最接近理论结果的可表示双精度可能是整数，尽管实际结果不是整数。这只会发生在 n 值非常大的情况下，但是...