假设我正在使用一些允许我绘制的图形 API 通过指定 4 个必要点的贝塞尔曲线： 开始、结束、两个控制点。
我能否重复使用此功能来绘制“原始”曲线的 x% （通过调整控制点和终点）？
还是不可能？
不必要的信息，如果有人关心的话：
我正在使用 Java 的 Path2D 绘制贝塞尔曲线：
Path2D p = new GeneralPath();
p.moveTo(x1, y1);
p.curveTo(bx1, by1, bx2, by2, x2, y2);
g2.draw(p);
【问题讨论】：
标签： math graphics drawing coordinates
您需要的是the De Casteljau algorithm。这将允许您将曲线分割成您想要的任何部分。
但是，由于您只处理三次曲线，因此我想建议一个更易于使用的公式，它可以为您提供从 t0 到 t1 的部分，其中 0 <= t0 <= t1 <= 1。这是一些伪代码：
u0 = 1.0 - t0
u1 = 1.0 - t1
qxa = x1*u0*u0 + bx1*2*t0*u0 + bx2*t0*t0
qxb = x1*u1*u1 + bx1*2*t1*u1 + bx2*t1*t1
qxc = bx1*u0*u0 + bx2*2*t0*u0 + x2*t0*t0
qxd = bx1*u1*u1 + bx2*2*t1*u1 + x2*t1*t1
qya = y1*u0*u0 + by1*2*t0*u0 + by2*t0*t0
qyb = y1*u1*u1 + by1*2*t1*u1 + by2*t1*t1
qyc = by1*u0*u0 + by2*2*t0*u0 + y2*t0*t0
qyd = by1*u1*u1 + by2*2*t1*u1 + y2*t1*t1
xa = qxa*u0 + qxc*t0
xb = qxa*u1 + qxc*t1
xc = qxb*u0 + qxd*t0
xd = qxb*u1 + qxd*t1
ya = qya*u0 + qyc*t0
yb = qya*u1 + qyc*t1
yc = qyb*u0 + qyd*t0
yd = qyb*u1 + qyd*t1
然后画出由(xa,ya)、(xb,yb)、(xc,yc)和(xd,yd)组成的贝塞尔曲线。
请注意，t0 和 t1 不完全是曲线距离的百分比，而是曲线参数空间。如果您绝对必须保持距离，那么事情就会变得更加困难。试试这个，看看它是否能满足您的需求。
编辑： 值得注意的是，如果 t0 或 t1 为 0 或 1（即您只想从一侧修剪），这些方程式会简化很多。
另外，0 <= t0 <= t1 <= 1 的关系不是严格要求。例如t0 = 1 和t1 = 0 可用于向后“翻转”曲线，或者t0 = 0 和t1 = 1.5 可用于将曲线延伸到原始末端之外。但是，如果您尝试将其延伸到 [0,1] 范围之外，曲线看起来可能与您预期的不同。
Edit2： 在我最初回答 3 年多之后，MvG 指出了我的方程式中的一个错误。我忘记了最后一步（获得最终控制点的额外线性插值）。上述等式已更正。
【讨论】：
在an answer 到another question 中，我只包含了一些计算三次曲线部分控制点的公式。 u = 1 − t，三次贝塞尔曲线描述为
B(t) = u3P1 + 3u2t P2 + 3ut2P3 + t3P4
P1是曲线的起点，P4是曲线的终点。 P2 和 P3 是控制点。
给定两个参数 t0 和 t1 （以及 u 0 = (1 - t0), u1 = (1 - t1))，曲线在区间[t0, t1] 由新的控制点描述
请注意，在括号中的表达式中，至少有一些术语是相等的并且可以组合。我没有这样做，因为我相信这里所说的公式会使模式更清晰。您可以简单地为 x 和 y 方向独立执行这些计算来计算新的控制点。
请注意，t 的参数范围的给定百分比通常不会对应于长度的相同百分比。因此，您很可能必须对曲线进行积分才能将路径长度转换回参数。或者你使用一些近似值。
【讨论】：