如何在 3D 中放置一个点以创建某个角度？

Question

我有一个关于 3D 的小问题。

下面是我的问题的一个例子。

我有两点：

答：12 4 5 B: 6 8 -10

我还有一点： C: 5 6 7

我需要变换（？）点 C，使 ABC 角为 48 度。

我该怎么做？如果有人可以帮助我使用公式，或者甚至可以将上述示例变为可行的，我将不胜感激。

换一种说法：如何变换 C.x、C.y 和 C.z 使角 ABC 为 48 度？

我真的很感激这方面的一些帮助，因为我现在被困住了。

旁注： 我已经实现了一种寻找角度的方法：

float Angle( float x1, float y1, float z1,
             float x2, float y2, float z2 )
{
  float x, y, z;
  CrossProduct( x1, y1, z1, x2, y2, z2, &x, &y, &z );

  float result = atan2 ( L2Norm( x, y, z ),
                         DotProduct( x1, y1, z1, x2, y2, z2 ) );

  return result;
}

你使用它： 角度（B.x - A.x，B.y - A.y，B.z - A.z， C.x - B.x, C.y - B.y, C.z - B.z);

Answer 1

       A------C    
       |     
 c''   |    c'
       B

由于 3D 中的三个点定义了一个平面，因此在该平面上只有 2 个可能的候选变换 C-->c' 或 C-->c''。

c' 将是 c' = A+t*(B-A) + u*(C-A) 约束 Normalize(c'-A) dot Normalize(B-A) == cos (48 / 180 * pi)。

我首先建议标准化 D=(B-A)，然后：

D dot D+u*(C-A) = 1 * |D+u(C-A)| * cos (48 degrees)

Dx*(Dx+u*(Cx-Ax))+ Dy*(Dy+u*(Cy-Ay))+Dz*(Dz+u*(Cz-Az)) ==
    0.669 * sqrt ((Dx+u*(Cx-Ax))^2+(Dy+u*(Cy-Ay))^2+(Dz+u*(Cz-Az))^2)

这是 a+u*b == 0.669*sqrt(c+du+e*u^2) 的形式，通过将两者平方来简化为 u 中的二次多项式侧面。

Answer 2

C点的轨迹实际上是一个圆锥体，可以想象，B是顶点，AB线是圆锥体的中心线，表示3D圆锥体在AB上对称。