等效表达式在函数中产生不同的结果？

Question

我有一个函数（Thompson 的函数式编程技巧中的练习 10.11），它计算一个函数在域 (a, b) 上的定积分值的近似值。它可能不是最优雅的功能，但我仍然是初学者：

import Data.Ratio (Rational, (%), denominator, numerator)
type R = Rational

integrate :: (R -> R) -> R -> (R, R) -> R       
integrate f d (a, b) = foldr (+) 0 $ zipWith (*) (map f [a, a + d..b]) (widths d)
 where widths :: R -> [R]
       widths = \n -> n : widths n

eval :: R -> Double       
eval = \r -> (/) (fromIntegral $ numerator r) (fromIntegral $ denominator r)

例如，

eval $ integrate (\x -> 20 + x^2) (1%10000) (-3%1, 3%1) = 
 ~> 138.00290001

现在，widths d 应该等价于表达式 [d..]。但是，如果我在积分中用 [d..] 替换宽度，我的函数会输出不正确的值。例如：

integrate' :: (R -> R) -> R -> (R, R) -> R       
integrate' f d (a, b) = foldr (+) 0 $ zipWith (*) (map f [a, a+d..b]) [d..]

eval $ integrate' (\x -> 20 + x^2) (1%10000) (-3%1, 3%1)
 ~> 41400870141.0029

这是为什么？

Answer 1

因为这两个语句不等价。想想当我打电话给widths d时会发生什么：

widths d = d : widths d
         = d : d : widths d
         ...
         = [d, d, d, ...]

换句话说，您会得到一个无限的ds 列表。但是，[d..] 返回列表 [d, d+1, d+2, ...]。要获得ds 的无限列表，可以写[d,d..]；通常，[d,d+n..] 创建无限列表[d, d+n, d+2*n, ...]。更惯用的说法是，通常会写成repeat d； repeat 有签名a -> [a]，只是无限重复它的参数。

编辑：另外，一些风格等，点：function = \x -> ... 在所有情况下都与function x = ... 相同。并且没有特别的理由来编写带有前缀/ 的eval 函数；我会写eval r = (fromIntegral $ numerator r) / (fromIntegral $ denominator r);然而，实际上，我只是使用fromRational :: Fractional a => Rational -> a 函数而不是eval。您也可以将foldr (+) 0 替换为sum。而且您不需要创建ds 的无限列表，然后将所有内容相乘；更简单地说，你可以只拥有sum . map (* d) $ map f [a, a + d..b]。当然，你可以把它分发出去，然后有

integrate'' :: (R -> R) -> R -> (R,R) -> R
integrate'' f d (a,b) = d * (sum $ map f [a, a+d .. b])`

然后我们有

> fromRational $ integrate'' (\x -> 20 + x^2) (1%10000) (-3%1, 3%1) 
138.00290001