python numpy.convolve 解决卷积积分限制从 0 到 t 而不是 -t 到 t

Question

我有一个卷积积分类型：

为了用数值求解这个积分，我想使用numpy.convolve()。现在，正如您在online help 中看到的那样，卷积是从 -infinity 到 +infinity 正式完成的，这意味着数组完全相互移动以进行评估 - 这不是我需要的。我显然需要确保选择正确的卷积部分 - 您能否确认这是正确的方法，或者告诉我如何正确地做以及（可能更重要）为什么？

res = np.convolve(J_t, dF, mode="full")[:len(dF)]

J_t 是一个分析函数，我可以根据需要评估尽可能多的点，dF 是测量数据的导数。对于这次尝试，我选择len(J_t) = len(dF)，因为据我了解，我不需要更多。

感谢您的想法，一如既往，感谢您的帮助！

---

背景信息（供可能感兴趣的人使用）

这些类型的积分可用于评估物体的粘弹性行为（或电压变化期间电路的响应，如果您对此主题更熟悉的话）。对于粘弹性，J(t) 是蠕变柔量函数，F(t) 可以是随时间变化的偏应变，那么这个积分将产生偏应力。 如果你现在例如有一个 J(t) 的形式：

J_t = lambda p, t: p[0] + p[1]*N.exp(-t/p[2])

p = [J_elastic, J_viscous, tau] 将是“著名的”standard linear solid。积分限制是测量的开始 t_0 = 0 和感兴趣的时刻 t。

Answer 1

为了正确起见，我选择了以下两个函数：

a(t) = t
b(t) = t**2

很容易进行数学运算并发现它们在您的案例中定义的“卷积”需要 关于价值观：

c(t) = t**4 / 12

那么让我们试试吧：

>>> delta = 0.001
>>> t = np.arange(1000) * delta
>>> a = t
>>> b = t**2
>>> c = np.convolve(a, b) * delta
>>> d = t**4 / 12
>>> plt.plot(np.arange(len(c)) * delta, c)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x00000000025C37B8>]
>>> plt.plot(t[::50], d[::50], 'o')
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x000000000637AB38>]
>>> plt.show()

因此，通过执行上述操作，如果您的 a 和 b 都具有 n 元素，您将在 c 的第一个 n 元素中获得正确的卷积值。

不确定下面的解释是否有意义，但它是这样的......如果你认为卷积是沿着 y 轴镜像函数之一，然后沿着 x 轴滑动它并计算积分每个点的乘积，很容易看出，由于在定义区域之外 numpy 将它们视为用零填充，因此您有效地设置了从 0 到 t 的积分区间，因为第一个函数在零以下为零，第二个在 t 之上为零，因为它最初在零之下为零，但已被镜像并向右移动 t。

Answer 2

我正在解决同样的问题，并使用一种效率极低但功能正确的算法解决了它：

def Jfunk(inz,t):

    c0 = inz[0]
    c1 = inz[1]
    c2 = inz[2]

    J = c0 - c1*np.exp(-t/c2)

    return J

def SLS_funk(inz, t, dl_dt):

    boltz_int = np.empty(shape=(0,))

    for i,v in enumerate(t, start=1):

        t_int = t[0:i]

        Jarg = v - t[0:i]

        J_int = Jfunk(inz,Jarg)

        dl_dt_int = dl_dt[0:i]

        inter_grand = np.multiply(J_int, dl_dt_int)

        boltz_int = np.append(boltz_int, simps (inter_grand, x=t_int) )

    return boltz_int

感谢这个问题及其答案，我能够根据上面建议的 numpy 卷积函数实现更好的解决方案。如果 OP 很好奇，我对这两种方法进行了时间比较。

对于具有 20,000 个时间点的 SLS（三参数 J 函数）：

使用 Numpy 卷积：~0.1 秒

使用蛮力方法：~7.2 秒

Answer 3

如果有助于了解对齐方式，请尝试将一对冲动进行卷积。使用 matplotlib（使用 ipython --pylab）：

In [1]: a = numpy.zeros(20)
In [2]: b = numpy.zeros(20)
In [3]: a[0] = 1
In [4]: b[0] = 1
In [5]: c = numpy.convolve(a, b, mode='full')
In [6]: plot(c)

您可以从结果图中看到c 中的第一个样本对应于重叠的第一个位置。在这种情况下，只有a 和b 的第一个样本重叠。其余的都漂浮在未定义的空间中。 numpy.convolve 有效地用零替换了这个未定义的空间，如果你设置了第二个非零值，你可以看到：

In [9]: b[1] = 1
In [10]: plot(numpy.convolve(a, b, mode='full'))

在这种情况下，绘图的第一个值是 1，和以前一样（表明 b 的第二个值根本没有贡献）。

Answer 4

过去 2 天我一直在为类似的问题而苦苦挣扎。 OP 可能已经继续，但我仍然在这里展示我的分析。 以下两个来源帮助了我：

1. 讨论stackoverflow
2. These notes

我将考虑从时间 开始在同一时间序列上定义的时间序列数据。 让这两个系列为A 和B。 他们的（连续）卷积是

在上面的等式中将 替换为，我们得到np.convolve(A,B) 返回的结果：

你想要的是

再次进行相同的替换，我们得到

这与上面的 相同，因为负索引的A 被外推为零并且对于i > (j + m) B[j - i + m] 为零。

如果您查看上面引用的注释，您可以发现 对应于我们时间序列的时间。 列表中的下一个值将对应于，依此类推。 因此，正确答案将是

等于np.convolve(A,B)[0:M]，其中M = len(A) = len(B)。

这里记住M*dt = T，其中T是时间数组的最后一个元素。

免责声明：我不是程序员、数学家或工程师。我不得不在某处使用卷积，并从我自己与这个问题的斗争中得出这些结论。如果有人能指出，我很乐意引用任何有这种分析的书。