基于比较的排名算法

Question

我想对一个项目集合（大小可能大于 100,000）进行排名或排序，其中集合中的项目没有内在（可比）价值，而是 我所拥有的只是任何两个项目之间的比较 由用户以主观方式提供。

示例：考虑一个包含元素[a, b, c, d] 和用户比较b > a、a > d、d > c 的集合。这个集合的正确顺序是[b, a, d, c]。

这个例子很简单，但可能有更复杂的情况：

• 由于比较是主观的，用户也可以说c > b。在这种情况下，这会导致与上述顺序发生冲突。
• 此外，您可能没有“连接”所有项目的比较，即b > a、d > c。在这种情况下，排序是不明确的。可能是[b, a, d, c] 或[d, c, b, a]。在这种情况下，任何一种排序都是可以接受的。

如果可能，最好以某种方式考虑相同比较的多个实例，并为出现次数较多的实例赋予更多权重。但是没有这种条件的解决方案仍然可以接受。

扎克伯格的 FaceMash 应用程序使用了该算法的一个类似应用程序，他根据比较对人进行排名（如果我理解正确的话），但我无法找到该算法实际上是什么。

是否已经存在可以解决上述问题的算法？如果是这样的话，我不想花精力去想出一个。如果没有特定的算法，是否有某些类型的算法或技术可以指点我？

Answer 1

这是另一个领域已经出现的问题：竞技游戏！在这里，目标也是基于一系列 1 对 1 比较为每个玩家分配一个全局“排名”。当然，困难在于比较不是传递性的（在您的问题中，我将“主观”表示为“由人类提供”）。 Kasparov 击败 Fischer 击败（不认识其他棋手！）Bob 有可能击败 Kasparov。

这会呈现依赖传递性（即a > b and b > c => a > c）的无用算法，因为您最终（可能）得到一个高度循环的图。

已经设计了几个评级系统来解决这个问题。

最著名的系统可能是用于竞技棋手的Elo algorithm/score。它的后代（例如，Glicko rating system）更加复杂，并考虑了赢/输记录的统计属性——换句话说，评级的可靠性如何？这类似于您在玩更多“游戏”时对更多记录加权的想法。 Glicko 还构成了 Xbox Live 上用于多人视频游戏的 TrueSkill system 的基础。

Answer 2

您可能对最小反馈弧集问题感兴趣。本质上，问题是如果元素以某种顺序线性排序，则要找到“走错路”的最小比较次数。这与找到必须删除以使图无环的最小边数相同。不幸的是，准确地解决这个问题是 NP 难的。

几个讨论问题的链接：

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.86.8157&rep=rep1&type=pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Feedback_arc_set

Answer 3

我用谷歌搜索了这个，寻找第 12.3 章，拓扑排序和深度优先搜索

http://www.cs.cmu.edu/~avrim/451f09/lectures/lect1006.pdf

您的关系集描述了一个有向无环图（希望是无环图），因此图拓扑排序正是您所需要的。