使用 C++ 在 OpenGL 中绘制贝塞尔曲线的切线

Question

所以我有一个有 4 个控制点的程序

std::vector<ControlPoint> cam_pos_points;
    cam_pos_points.push_back(ControlPoint(-0.79, 0.09, 0.2, 0));
    cam_pos_points.push_back(ControlPoint(-0.88, -0.71, 0.2, 1));
    cam_pos_points.push_back(ControlPoint(1.3, -0.8, 0.2, 2));
    cam_pos_points.push_back(ControlPoint(0.71, 0.76, 0.2, 3));

基本上，发生的情况是我设置了一种移动控制点的方法，当控制点移动时，新位置会被保存，并根据这个新位置重新计算曲线。我绘制曲线的方式是使用这些方程式：

for (double t = 0; t < 1; t += 0.1){
    float Px =(pow((1 - t), 3) * cam_pos_points[0].positionx()) + 
        ((pow((1 - t), 2) * t) * cam_pos_points[1].positionx()) + 
        (((1 - t) * pow(t, 2)) * cam_pos_points[2].positionx()) + 
        (pow(t, 3) * cam_pos_points[3].positionx());

    float Py =(pow((1 - t), 3) * cam_pos_points[0].positiony()) + 
        ((pow((1 - t), 2) * t) * cam_pos_points[1].positiony()) + 
        (((1 - t) * pow(t, 2)) * cam_pos_points[2].positiony()) + 
        (pow(t, 3) * cam_pos_points[3].positiony());
}

然后使用这两个浮点值，我将它们放入 vec3 中并生成一堆点。然后，我通过声明曲线中的点，然后在每个点之间画一条直线，将它们放入多线类中，在所有这些点之间画一条线。最终结果将是贝塞尔曲线。

我现在遇到的问题是绘制贝塞尔曲线的切线。我的想法是，对于第一个控制点，就是说切线在 P1 - P2 线上。那么在绘制切线之后，当我移动切点时，我应该使用什么方程来重新绘制曲线的形状？我已经找到了贝塞尔曲线方程的导数，但我不知道如何处理它们：

float dx = (-3*(pow((1 - t), 2)) * cam_pos_points[0].positionx()) + 
             (((-2*(1 - t)) * t) * cam_pos_points[1].positionx()) + 
              (((1 - t) * (2*t)) * cam_pos_points[2].positionx()) + 
                  ((3*pow(t, 2)) * cam_pos_points[3].positionx());

float dy = (-3*(pow((1 - t), 2)) * cam_pos_points[0].positiony()) + 
             (((-2*(1 - t)) * t) * cam_pos_points[1].positiony()) + 
              (((1 - t) * (2*t)) * cam_pos_points[2].positiony()) + 
                  ((3*pow(t, 2)) * cam_pos_points[3].positiony());

Answer 1

你的起始切线将从第一个控制点到第二个控制点，结束切线将从第四个控制点到第三个控制点。我建议您每次重画时都重新开始；即，每当控制点移动时，都将其视为一个全新的方程。

如果您的一个（或两个）切线长度为零，那么它们实际上并不是切线本身，但曲线将朝向相反的端点。

这就是为什么您可以使用没有切线的贝塞尔曲线来表示直线。

Answer 2

等式是错误的。

正确的公式是

(1-t)^3 * p0 + 3*(1-t)^2*t * p1 + 3*(1-t)*t^2 * p2 + t^3 * p3. 

展开和微分得到切线。

Answer 3

您似乎想在贝塞尔曲线的起点和终点绘制切向量的切点，以便用户可以通过移动切点来调整曲线的形状。如果是这种情况，您需要注意移动切点也会移动第二个或第三个控制点。因此，正确的程序是从移动的切点重新计算第二个或第三个控制点，然后重新绘制曲线。

对于三次贝塞尔曲线，t=0 和 1 处的 C'(t) 为

C'(0)=3*(P1-P0)
C'(1)=3*(P3-P2)

假设你的起始切线的切点是 T0 并且位于

T0= P0+s0*C'(0)=P0+3*s0*(P1-P0)

其中 s0 是​​一个常数比例因子，用于确保您的切点不会离控制点太远。当 T0 变为 T0* 时，可以将控制点 P1 更新为

P1* = (T0*-P0)/(3*s0)+P0。

当结束切线的切点移动时，对控制点 P2 进行类似的更新。然后，您可以重新绘制曲线。