给定 y 在贝塞尔曲线上获取 x

Question

我有一条贝塞尔曲线：(0,0)、(.25,.1)、(.25,1) 和 (1,1)。

此处以图形方式显示：http://cubic-bezier.com/#.25,.1,.25,1

我们在 x 轴上看到的是时间。

这是我的未知数。这是一个单元格。所以我想知道当 y 为 0.5 时如何得到 x？

谢谢

看到了这个话题：y coordinate for a given x cubic bezier

但它会循环，我需要避免循环 于是我找到了这个话题：Cubic bezier curves - get Y for given X

但我不知道如何在 js 中求解三次多项式 :(

Answer 1

这在数学上是不可能的，除非您可以保证每个 x 值只有一个 y 值，即使在单位矩形上您也不能（例如，{0,0},{1, 0.6},{0,0.4},{1,1} 在中间会很有趣！）。最快的方法是简单地构建一个 LUT，例如：

var LUT_x = [], LUT_y = [], t, a, b, c, d;
for(let i=0; i<100; i++) {
  t = i/100;
  a = (1-t)*(1-t)*(1-t);
  b = (1-t)*(1-t)*t;
  c = (1-t)*t*t;
  d = t*t*t;
  LUT_x.push( a*x1 + 3*b*x2 + 3*c*x3 + d*x4 );
  LUT_y.push( a*y1 + 3*b*y2 + 3*c*y3 + d*y4 );
}

完成，现在如果您想查找某个 y 值的 x 值，只需运行 LUT_y 直到找到您的 y 值，或者更实际地直到您在索引处找到两个值 @ 987654331@ 和 i+1 这样您的 y 值介于它们之间，并且您将立即知道相应的 x 值，因为它将在 LUT_x 中的同一索引处。

对于具有 2 个索引 i 和 i+1 的非精确匹配，您只需进行线性插值（即，y 位于 i 和 i+1 之间的距离 ...，而这与 @ 之间的距离相同987654341@ 和 i+1 用于x 坐标）

Answer 2

所有使用查找表的解决方案只能为您提供近似结果。如果这对你来说足够好，那么你就准备好了。如果您想要更准确的结果，那么您需要使用某种数值方法。

对于一般的 N 次贝塞尔曲线，您确实需要循环。意思是，您需要使用二分法或 Newton Raphson 方法或类似方法来找到与给定 y 值对应的 x 值，并且此类方法（几乎）总是涉及从初始猜测开始的迭代。如果有多个解决方案，那么您得到的 x 值将取决于您最初的猜测。

但是，如果您只关心三次贝塞尔曲线，那么解析解是可能的，因为可以使用卡尔达诺公式找到三次多项式的根。在 OP 中引用的此链接 (y coordinate for a given x cubic bezier) 中，Dave Bakker 提供了一个答案，显示了如何使用 Cardano 公式求解三次多项式。提供了 Javascript 源代码。我认为这将是您开始调查的好来源。

Answer 3

再次感谢 Mike 的帮助，我们找到了最快的方法。我把这个函数放在一起，平均需要 0.28msg：

function getValOnCubicBezier_givenXorY(options) {
  /*
  options = {
   cubicBezier: {xs:[x1, x2, x3, x4], ys:[y1, y2, y3, y4]};
   x: NUMBER //this is the known x, if provide this must not provide y, a number for x will be returned
   y: NUMBER //this is the known y, if provide this must not provide x, a number for y will be returned
  }
  */
  if ('x' in options && 'y' in options) {
    throw new Error('cannot provide known x and known y');
  }
  if (!('x' in options) && !('y' in options)) {
    throw new Error('must provide EITHER a known x OR a known y');
  }

  var x1 = options.cubicBezier.xs[0];
  var x2 = options.cubicBezier.xs[1];
  var x3 = options.cubicBezier.xs[2];
  var x4 = options.cubicBezier.xs[3];

  var y1 = options.cubicBezier.ys[0];
  var y2 = options.cubicBezier.ys[1];
  var y3 = options.cubicBezier.ys[2];
  var y4 = options.cubicBezier.ys[3];

  var LUT = {
    x: [],
    y: []
  }

  for(var i=0; i<100; i++) {
    var t = i/100;
    LUT.x.push( (1-t)*(1-t)*(1-t)*x1 + 3*(1-t)*(1-t)*t*x2 + 3*(1-t)*t*t*x3 + t*t*t*x4 );
    LUT.y.push( (1-t)*(1-t)*(1-t)*y1 + 3*(1-t)*(1-t)*t*y2 + 3*(1-t)*t*t*y3 + t*t*t*y4 );
  }

  if ('x' in options) {
    var knw = 'x'; //known
    var unk = 'y'; //unknown
  } else {
    var knw = 'y'; //known
    var unk = 'x'; //unknown
  }

  for (var i=1; i<100; i++) {
    if (options[knw] >= LUT[knw][i] && options[knw] <= LUT[knw][i+1]) {
      var linearInterpolationValue = options[knw] - LUT[knw][i];
      return LUT[unk][i] + linearInterpolationValue;
    }
  }

}

var ease = { //cubic-bezier(0.25, 0.1, 0.25, 1.0)
  xs: [0, .25, .25, 1],
  ys: [0, .1, 1, 1]
};

var linear = {
  xs: [0, 0, 1, 1],
  ys: [0, 0, 1, 1]
};

//console.time('calc');
var x = getValOnCubicBezier_givenXorY({y:.5, cubicBezier:linear});
//console.timeEnd('calc');
//console.log('x:', x);