逼近算法 - 使用期望

Question

注意：您不必了解近似算法即可回答此问题

你好。
我需要通过使用期望来证明算法近似。
该算法采用x_i \in {0,1,2} 使得i\in 1,...n+2 和有常数c_i \in 0,1,2 使得i\in 1,...,n 并希望找到对变量的赋值，使得x_i +x_(i+1)+x_(i+2) != 0 \mod(3) 对于所有i 使得数字使x_i +x_(i+2) = c_i \mod(3) 最大化的索引。
它执行以下操作：
独立均匀随机选择x_1 , x_2 \in 0,1,2，然后
对于每个i\in 3,...,n+2，给定x_(i-2),x_(i-1) 的值，分配给x_i {b\in 0,1,2 | x_(i-1)+x_(i-2)+b != 0 \mod(3)} 中的两个值之一 均匀随机。
每个x_i 的分配对于所有x_j 都是独立的，例如j<i-2。

我需要证明这个算法给出了一个1/3 近似于所描述的问题，使用期望（意味着证明对于我们分配给这个问题的一些 X 随机变量，E[X]=1/3）
我正在努力定义这样的 X 并计算它，我一直得到 2\3 而不是 1\3。
谁能帮忙计算一下？

Answer 1

您可以通过归纳证明每个 x_i 在 {0, 1, 2} 上均匀分布并且成对独立。基本情况 (n=2) 是直接的，归纳步骤是从以下事实得出的

结果紧随其后，因为 P(x_i + x_{i+2} = c_i) 是 1/3，并且根据线性期望，E[X] = n/3。

澄清最后一条语句：如果 x_i + x_{i+2} = c_i，让 V_i 是一个随机变量，使得 V_i 为 1。否则，V_i 为 0。则 X = sum(V_i i=1..n)，并且 E[X] = sum(E[V_i] i=1..n) 通过期望的线性。然而，E[V_i] = P(x_i + x_{i+2} = c_i) = 1/3。