分而治之的算法（二分搜索的应用？！）答案

【问题标题】：Divide and Conquer Algorithms (Application of Binary Search?!)分而治之的算法（二分搜索的应用？！）
【发布时间】：2015-04-08 09:00:00
【问题描述】：

我是新来的。作为一名研究生，我对算法进行了一段时间的头脑风暴。我很感激可以就以下问题提供的任何帮助。我已经进行了足够多的搜索，但找不到任何解决此问题的方法。

我们有一个无限长的排序不同数字的数组。前 n 个数字是大于 0 但小于 1 的分数。所有其余元素都是“1”，并且您没有得到 n 的值。您需要开发一种算法来检查用户给定的分数 F 是否出现在该数组中。将算法的时间复杂度分析为 n 的函数。（以 n=8 为例，其中 1 从数组的第 8 个位置开始）

我的方法：我猜想解决这个问题的最好方法是使用二进制搜索。每次我们可以将数组的大小减少一半，最后得到要找到的分数。让我们假设数组中有 m 个元素，包括 1。小数元素的数量是 n。对整个数组执行二分查找的时间复杂度为 O(log(m))。由于我被要求用 n 来表示时间复杂度，因此 m = n+k（假设数组中 1 的数量为 k）所以这个问题的时间复杂度是O(log(n+k))。

请提出您的想法。谢谢

【问题讨论】：

“我们有一个无限长的排序不同数字的数组。”停在那儿。马上离开计算机科学系，去隔壁的数学系。
@MikeNakis 为什么？一些计算机科学算法需要假设未绑定的值。
你不能有一个无限长的数组。您可能会说无穷无尽的项目流，但不是无穷无尽的数组。当然，您不能对流执行二进制搜索，因为您需要知道项目的总数，以便计算中间项，等等。
数字排序了吗？
我一定错过了什么，图灵机不再是计算机科学的一部分了吗？

标签： arrays algorithm binary-search divide-and-conquer

【解决方案1】：

您确实可以通过指数搜索解决无限数组的问题，即不知道 m。

尝试第一个元素并将索引加倍，直到得到 1。这将需要 O(Lg n) 步。然后你切换到二分搜索并在额外的 O(Lg n) 步骤中得到答案。

k 的值无关紧要。

这种方法在现实世界中是有意义的，即使用一个有限但未知大小的数组，前提是至少有一半的数组是用 1 填充的，这样搜索就会在边界内终止。

【讨论】：

在实践中，您甚至不会在指数搜索中找到 1，而只会找到第一个元素 >F。而且您只会在该位置和前一个位置之间进行二进制搜索。当然，这不会影响最坏情况的时间复杂度，但它可以为您提供更好的平均情况。
谢谢。有道理:)
@biziclop：对。复杂度实际上是 O(Lg i)，其中 i 是搜索元素的索引。另外，我没有说必须从第一个元素开始进行二分搜索:) 但是这种优化并没有改善平均情况，仍然是 O(Lg n) 或 O(Lg i)，它只保留了一个测试.

【解决方案2】：

二分查找适用于已排序的数组。如果您有介于 0 和 1 之间的分数，则您的数组已排序，因此您可以对整个数组进行二进制搜索，它的复杂度为 O(lg (n+k))，其中 n 和 k 是您所说的值在你的问题中。无论如何，您的数组可能非常大，而分数的数量却很少。因此，无论时间复杂度如何，在这种情况下顺序搜索都会更快。

所以，在你的情况下，我建议简单的顺序搜索，它的复杂度为 O(n)。

【讨论】：

问题是你不知道n。尝试了解Yves Daoust's answer/exponential search。
是的。但是，如果值在区间中并已排序，并且数组的“空”元素的值为 1，那么您就知道何时停止 - 当您到达第一个具有值 1 的元素时！因此，顺序搜索仍然具有 O(n) 复杂度，其中 n 是数组中元素的数量。