Master Theorem混淆与三种情况

Question

我知道当递归关系的形式为：

T(n) = a*T(n/b) + f(n)

我们知道以下内容：

• a是算法划分原问题的子问题个数
• b 是太阳问题的大小，即 n/b
• 最后..f(n) 包含划分问题和合并子问题结果的成本。

现在我们找到一些东西（我会回到术语“某物”） 我们有 3 个案例要检查。

1. f(n) = O(n^log(b)a-ε)对于某些ε>0的情况；那么T(n) 就是O(n*log(b)a)
2. f(n) = O(n^log(b)a) 的情况；那么T(n) 就是O(n^log(b)a * log n)。
3. 如果n^log(b)a+ε = O(f(n)) 表示某个常数ε > 0，如果a*f(n/b) =< cf(n) 表示某个常数 c < 1 和几乎所有 n，然后是 T(n) = O(f(n))。

好吧，我想起了一些东西。我们如何使用一般示例（即使用变量而不是实际数字）来确定算法属于哪种情况？

例如。考虑以下几点：

T(n) = 8T(n/2) + n

所以a = 8、b = 2 和f(n) = n

那我将如何进行？我如何确定哪种情况？虽然函数 f(n) = some big-Oh notation 这两件事有什么可比性？ 以上只是一个例子，向您展示我不明白的地方，所以问题是笼统的。

谢谢

Answer 1

正如 CLRS 建议的那样，基本思想是将f(n) 与n^log(b)a 进行比较，即 n 与幂（将 a 记录到基数 b）。在您的假设示例中，我们有：

1. f(n) = n
2. n^log(b)a = n^3，即 n 立方，因为您的递归在每一步都会产生 8 个大小减半的问题。

因此，在这种情况下，n^log(b)a更大，因为n^3 总是O(n)，解决方案是：T(n) = θ(n^3)。

显然，子问题的数量大大超过了您为每个子问题所做的工作（线性，f(n) = n）。因此，直觉告诉并掌握定理验证是 n^log(b)a 主导递归。

有一个微妙的技术细节，主定理说f(n) 不仅应该小于n^log(b)a O-wise，它应该多项式更小。