MATLAB 中的 K 均值算法 - 解释聚类标签分配步骤

Question

我的课堂上有一个 Matlab 代码，教授使用此代码将每个数据点分配给最近的集群，其中 c 是质心矩阵，x 是数据矩阵。

  % norm squared of the centroids; 
  c2 = sum(c.^2, 1);  

  % For each data point x, computer min_j  -2 * x' * c_j + c_j^2;
  % Note that here is implemented as max, so the difference is negated.
  tmpdiff = bsxfun(@minus, 2*x'*c, c2); 
  [val, labels] = max(tmpdiff, [], 2); 

我不确定这如何等同于通过集群分配完成的这一步的算法定义

% For every centroid j and for every data point x_i
labels(i) = `argmin||x_i - c_j||^2`

谁能给我解释一下这是如何工作的，主要是如何计算

min_j  -2 * x' * c_j + c_j^2 

等价于

 argmin||x_i - c_j||^2

Answer 1

如果我们有一个三角形，它的边长是a, b, c，那么 我们知道（来自law of cosines）

a^2=c^2+b^2-2bc*cos(alpha)

其中alpha 是大小为b 的边与大小为c 的边之间的角度。

现在，考虑由x、c_j 和O 三个顶点组成的三角形（R^n 的原点）。写thetax和c之间的角度，我们有

 argmin_j||x-c_j||^2
 =argmin_j (||x||^2+||c_j||^2 - 2*||x||* ||c_j|| * cos(theta)  )

等于

 argmin_j(||x||^2 + ||c||^2 - 2x^t c_j)

现在，请记住 x 在这个最小化过程中是常数，所以最后一个等式正好等于

argmin_j(||c_j||^2 - 2 x^t c_j)

这是您在代码中最小化的方程式。