了解 linpack 输入配置

Question

        5                         # number of tests
        1000 2000 3000 4000 5000  # number of equations (problem sizes)
        1000 2008 3000 4008 5000  # leading dimensions
        4 4 2 1 1                 # number of times to run a test (trials)
        4 4 4 4 4                 # alignment values (in KBytes)

我已经阅读了documentation，但是 2,3, 5 不清楚（我不知道 FORTRAN）。

第 2 行 - 是否要求创建 1000*1000、2000*2000 ... 5000*5000 矩阵？如果是，方程与创建矩阵有什么关系？如果否，这个方程有多复杂？像解决a = 1.2+2.2 或其他一些复杂问题一样简单

第 3 行 - 它可能指的是子矩阵。但是创建子矩阵有什么意义呢？如果所有的 LDA 值都等于相应的问题大小会发生什么

Line5- 对齐值到底是什么？

Answer 1

这是英特尔优化的 Linpack 基准测试的设置。您似乎感到困惑的参数都与矩阵的表示和访问方式有关。

输入参数

Linpack 基准测试解决了N 联立线性方程组。

a11 * x1 + a12 * x2 + .. + a1N * xN = b1
a21 * x1 + a22 * x2 + .. + a2N * xN = b2
...
aN1 * x1 + aN2 * x2 + .. + aNN * xN = bN

这相当于求解向量方程Ax=b，其中x 和b 是N 维向量，A 是N*N 矩阵。

N*N 矩阵在内存中表示为 N*N 数组，其中各个列存储在偏移量 0、n、2*n 等处。请注意，我们使用不同的符号 n的N。原因是当n=N 算法在多个并行线程中运行时，可能会遇到一种称为cache thrashing 的现象。请避免这种情况，建议设置n>N 在列数据之间插入一些填充。通常n 被选为能被8 整除且大于N 的最小整数。所以我们完成了第 2 行和第 3 行。第 2 行是 N，第 3 行是 n。

Linpack 基准测试使用多个数组。再次为了有效地使用缓存，建议让所有数组都从内存页面的边界开始。因此它们与 4k 边界对齐。对于较大的页面，将此值设置为较大的数字可能是有意义的，例如16 或 64。这是我们的第 5 行。

产量

为了检查解决方案，Linpack 基准计算了残差向量 r = Ax - b。向量r 的最大范数是其元素max(|r_1|,..,|r_N|) 的绝对值的最大值。这个值称为残值。它应该在 machine epsilon eps 的顺序上，即最小的数字，例如 1 + eps > eps。对于 64 位浮点数，eps 约为 1e-15。

为了有一个独立于机器架构的度量，计算标准化残差。 Linpack documentation 给出了归一化残差的以下公式。

||斧头 - b ||_oo / ( eps * ( || A ||_oo * || x ||_oo + || b ||_oo ) * n )

这里 || X ||_oo 表示最大范数。看起来很有趣的下标 _oo 代表无穷大符号。那就是|| Ax - b ||_oo 是残差，|| A ||_oo 是矩阵A 的元素的绝对值的最大值 和 || b ||_oo 是右手边向量的最大绝对值。

符号 || X ||_oo 来自分析。那里|| X ||_1 表示 X 各分量的绝对值之和，|| X ||_1 = |x1| + ... + |xN|。 || X ||_2 = sqrt(|x1|^2 + ... + |xN|^2), || X ||_k = (|x1|^k + ... + |xN|^k)^(1/k)。可以证明当 k 趋于无穷时 || X ||_k 走向max(|x1|,...,|xk|)。

你也应该看看原来的High Performance LINPACK。