Ctrick BIT 看不懂答案

【问题标题】：Ctrick BIT unable to understandCtrick BIT 看不懂
【发布时间】：2014-09-02 18:27:41
【问题描述】：

http://www.spoj.com/problems/CTRICK/是spoj的问题它指出

魔术师洗好一小包纸牌，将其正面朝下并执行以下程序：

最上面的牌被移到牌组的底部。新的顶牌面朝上放在桌子上。这是黑桃 A。
两张卡从上到下一次移动一张。下一张牌面朝上发到桌子上。黑桃二。
一次移动三张卡片……
这样一直持续到第 n 张也是最后一张牌变成黑桃 n。

如果魔术师事先知道如何排列卡片（并且知道如何进行假洗牌），这个令人印象深刻的技巧就会奏效。您的程序必须确定给定数量的卡片的初始顺序，1 ≤ n ≤ 20000。

输入

输入的第一行是一个正整数，表示要遵循的测试用例的数量。每个案例由包含整数 n 的一行组成。输出

对于每个测试用例，输出一行，其中值 1 到 n 的正确排列，空格分隔。第一个数字显示包的顶牌，等等…… 示例

输入： 2

输出：

2 1 4 3

3 1 4 5 2

现在我能想到的唯一解决方案是使用队列并模拟该过程。但这将是 O(n^2)。我阅读了 cmets，他们建议使用 BIT 的段树。我知道分段树和 BIT，但无法理解如何在这个问题中实现它们。请提出一些方法来做到这一点。谢谢

【问题讨论】：

你有没有试过这个问题？你目前的判决是什么？

标签： algorithm tree segment-tree

【解决方案1】：

我不知道为什么这个问题应该与 BIT 或段树联系起来，但我使用简单的“O(N^2)”模拟解决了这个问题。

首先这个问题的时间限制是11s和N == 20000。这表明O(kN) 解决方案可能会通过问题。我相信你认为这个k应该是N，因为简单的模拟需要这个，但是可以通过某种方式对其进行优化。

让我们看看当 N == 5 时如何构造序列：

Round 1, count 1 space starting from first space after last position:        _ 1 _ _ _
Round 2, count 2 spaces starting from first space after last position:       _ 1 _ _ 2
Round 3, count 3 spaces starting from first space after last position:       3 1 _ _ 2
Round 4, count 4 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 _ 2
Round 5, count 5 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 5 2

我们可以看到一个很好的模式：对于圆形i，我们应该从最后一个位置后的第一个空格开始计算i 空格，并在必要时回退。

然而，关键的一步是：经过几轮后，剩余的空间将小于要计算的空间。在这种情况下，我们可以通过mod 来节省时间！

例如，在上一个示例的第 4 轮中，我们只剩下 2 个空格，但要计算 4 个空格。如果我们数到 4，那就是浪费时间。 计数 4 步相当于从最后一个位置后的第一个空格开始计数 4 % 2 == 0 个空格。你可以自己验证这一点:)

因此，我们可以使用代码来模拟这个过程：

memset(ans, 255, sizeof(ans));
while (cur <= n)
{
    int i, cnt;
    int left = n - cur + 1; // count how many spaces left
    left = cur % left + 1; // this line is critical, mod to save time!

    for (i = pos, cnt = 0; ; ++i) // simulate the process
    {
        if (i > n) i = 1;
        if (ans[i] == -1) ++cnt;
        if (cnt == left) break;
    }

    ans[i] = cur;
    pos = i;

    ++cur;
}

【讨论】：

【解决方案2】：

如果你想使用芬威克树（BIT）来解决这个问题，仔细看看nevets发布的解决方案，特别是这部分（感谢nevets的绘图）：

Round 1, count 1 space  starting from first space after last position:       _ 1 _ _ _
Round 2, count 2 spaces starting from first space after last position:       _ 1 _ _ 2
Round 3, count 3 spaces starting from first space after last position:       3 1 _ _ 2
Round 4, count 4 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 _ 2
Round 5, count 5 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 5 2

使用上述方法找到正确的空闲空间的时间复杂度为 O(N)，因为我们必须遍历所有空间（总复杂度 O(N^2)）。请注意，我们可以使用以下方法计算下一个位置：

free(next_pos) = (free(current_pos) + next_number) mod free(total) + 1

其中 free(x) 告诉我们有多少空闲空间可以到达（包括）一个位置。这不是 next_pos 的直接公式，但它告诉我们它需要满足什么，因此我们可以使用这些信息对其进行二分查找。

剩下要做的就是进行可用空间计算，这就是 BIT 发挥作用的地方，因为它为我们提供了查询和更新的 O(log N) 时间复杂度。现在找到空闲空间的时间复杂度是O(log^2 N)，总时间复杂度是O(N log^2 N)。

关于运行速度：

建议的方法需要 3.16 秒
1.18s 使用队列旋转元素
0.60s使用链表旋转
0.02s 使用 BIT。

我必须说我对速度的提升感到非常惊讶:-)

附：如果您不确定如何使用 BIT，请通过将所有值更新 +1 来进行初始化。将插槽标记为已占用时，只需将其更新为 -1 即可。

【讨论】：