在 haskell 中使用 BST 的电源集

Question

我在 Haskell 中使用二叉搜索树实现了一个 Set 数据类型。我没有使用任何内置函数，也没有导入任何模块。

我设置的数据类型如下：

data Set a = Empty | Node a (Set a) (Set a) deriving(Show) 

我已经编写了一个 toList 函数，以及一个使用 insert 函数的 fromList 函数。 我还使用 bst 在集合上编写了一个 setmap 和一个 setfoldr 函数。

我现在只解决一个问题：

-- powerset of a set
-- powerset {1,2} => { {}, {1}, {2}, {1,2} }
powerSet :: Set a -> Set (Set a) 

我不知道如何使用这种类型签名来实现 powerSet。对于我需要为此编写什么样的辅助函数，我没有任何线索。我对如何使用列表执行此操作有一些线索，但不使用二叉搜索树。如果可以，请分享一些有关如何执行此操作的提示。 提前致谢！

Answer 1

幂集是递归定义的。

空集的幂集是包含空集的集合。

P({}) = {{}}

非空集S 的幂集P 是通过首先选择任意元素x 并将其从S 中删除得到S' 来找到的。您递归地竞争S' 的幂集以获得P'。然后将P 构造为

P = P' ∪ { s ∪ {x} | s ∈ P' }

所以，只要定义了union :: Set a -> Set a -> Set a 和remove :: Set a -> a -> Set a，就可以直接将上述定义翻译成powerset :: Set a -> Set (Set a)。

（我从上面的所有类型签名中省略了假设的Ord a 约束。）

例如，

P({}) == {{}}
P({1}) == {{}} ∪ {{1}}
       == {{}, {1}}
P({1,2}) == {{}, {1}} ∪ {{2}, {1,2}}
         == {{}, {1}, {2}, {1,2}}

等等

Answer 2

你提到你已经实现了toList。你可以用它去这里的列表路线。

就像在您的previous question 中一样，这需要实现和使用fromAscendingList，以纯粹结构的方式从列表构造一棵树，没有任何比较，假设列表已经按递增顺序排列顺序。

这种结构构造不涉及任何元素知识； powerset 函数也应该如此：

powerSet :: Set a -> Set (Set a)
powerSet = toList >>> powerList >>> map fromAscendingList
                  >>> fromAscendingList

-- (foo >>> bar >>> baz) x = baz (bar (foo x))

当然，我们需要以保持顺序的方式实现powerList，这样才能正常工作：

powerList :: [a] -> [[a]]
powerList  =  concat . powers
  where
  powers :: [a] -> [[[a]]]
  powers []     =  [[[]]]
  powers (x:xs) =  let { p = powers xs } in 
          [[]] : zipWith (++)
                         (map (x:) <$> p)
                         (drop 1 p ++ [[]])

-- > powerList [1,2,3]
-- [[],  [1],[2],[3],  [1,2],[1,3],[2,3],  [1,2,3]]

（一个更简单的替代方法以不同的顺序生成子列表：

powerList' :: [a] -> [[a]]
powerList' (x:xs) = [ s | s <- powerList' xs, s <- [s, x:s]]
powerList' []     = [[]]

-- > powerList' [1,2,3]
-- [[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

如果我们直接在另一个答案中遵循 set-notation 伪代码，则生成的代码将生成子列表更加乱序 - [3] 将在 [2] 之前出现，并且在 @987654331 之前出现@)。

你仍然需要实现fromsAcendingList。最简单的方法是创建高度不平衡的、类似列表的树。你可以从那开始。然后也许设计一种方法来创建近似平衡的树，这是更可取的。

作为替代方案，将以上所有内容视为可执行规范并重新实现它以直接处理您的 Set 类型值。 mapTree 是微不足道的（并且已经包含在您的 previous question 中）；同时访问边缘节点及其后继节点也是可行的。