如何创建一个生成整数序列的无限列表的函数，该整数序列使用两个初始数字 X_0 和 X_1 递归定义

Question

假设我有以下整数序列的递归定义：a_0 = 5, a_n = 2a_0+3->5,13,29,61,125...

我想使用 Haskell 中的iterate 函数来生成这个序列的无限列表。为此，我可以编写以下代码：

intSequence :: Integer -> Integer -> [Integer]
intSequence a0 m = iterate nextNum a0
  where nextNum a = 2*a + m

ghci> let an = intSequence 5 3
ghci> take 5 a
[5,13,29,61,125]

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现在假设我有以下内容：

X_n = X_n-1 * m_1 + X_n-2 * m_2 + a

现在我想创建一个按以下方式调用的函数：

intSequence x0 x1 m1 m2 a

返回符合上述定义规则的序列的无限列表。

例如：对于参数X0=1, X1=2, m1=2, m2=0, a=0，我们得到Xn=X_n-1 * 2 + X_n-2 * 0 + 0 = X_n-1 * 2，这给了我们[1,2,4,8,16,...]

另一个例子：对于参数X0=0, X1=1, m1=1, m2=1, a=0，我们得到斐波那契序列X_n = X_n-1 * 1 + X_n-2 * 1 + 0 = X_n-1 + X_n-2，它给了我们[0,1,1,2,3,5,8,...]

如何使用iterate 实现这个intSequence 函数？

我尝试了以下无法按预期工作的方法：

intSequence :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer -> Integer -> [Integer]
intSequence x0 x1 m1 m2 a = x0:x1:iterate (nextNum x0) x1
  where
    nextNum x0' x1' = x1'*m1 + x0'*m2 + a

ghci> a = intSequence 0 1 1 1 0
ghci> take 10 a
[0,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

这显然是不正确且合乎逻辑的，因为我从不更改 x0 和 x1 是什么。我想我需要以某种方式使用递归，但我就是不知道怎么做。我应该根本不使用iterate吗？

Answer 1

使用递归更容易做到：

-- helper function for recursion
intSequence' :: (Integral a) => (a, a) -> a -> a -> a -> [a]
-- p2 is X_n-2 and p1 is X_n-1
intSequence' (p2, p1) m1 m2 a =
    -- recurse using X_n-1 as new X_n-2 and current term as new X_n-1
    cur:intSequence' (p1, cur) m1 m2 a
    -- calculate the current term in the sequence
    where cur = p1 * m1 + p2 * m2 + a

-- set previous terms correctly and prepend them to the sequence
intSequence :: (Integral a) => a -> a -> a -> a -> a -> [a]
intSequence x0 x1 m1 m2 a = x0:x1:intSequence' (x0, x1) m1 m2 a