最优选择选举算法

Question

给定一组人（类似于）：

[p1,p2,p3]
[p2,p3]
[p1]
[p1]

从每组中选择一个，尽量减少任何一个人被选中的最大次数。

对于上述集合，必须选择给定人员的最大次数为 2。

我正在努力为此找到一个算法。我不认为它可以用贪心算法来完成，更多地沿着动态编程解决方案的思路思考。

关于如何进行此操作的任何提示？或者你们中的任何人都知道任何关于这些东西的好网站，我可以看看吗？

Answer 1

这既不是动态的也不是贪婪的。我们先来看一个不同的问题——是否可以通过最多选择每个人一次来完成？

你有 P 个人和 S 组。创建一个带有 S+P 顶点的图，表示集合和人。当 pi 是 si 的一个元素时，person pi 和 set si 之间有一条边。这是bipartite graph，然后您的问题的决策版本相当于测试该图中的maximum cardinality matching 的大小是否为S。

如该页所述，此问题可以通过使用maximum flow 算法来解决（注意：如果您不知道我在说什么，那么现在就花点时间阅读它，因为您不会'否则不理解）：首先创建一个超级源，添加一条连接到所有容量为 1 的人的边（表示每个人只能使用一次），然后创建一个超级接收器并添加连接每个集合的边到容量为 1 的接收器（表示每个集合只能使用一次）并在源和接收器之间运行合适的最大流算法。

现在，让我们考虑一个稍微不同的问题：是否可以通过最多选择每个人 k 次来完成？

如果你注意了最后一段的注释，你应该知道答案了：只要改变离开超级源的边的容量，以表明在这种情况下每个人都可能被多次使用。

因此，您现在有了一个算法来解决最多选择 k 次人员的决策问题。不难看出，如果你可以用k来做，那么你也可以用任何大于k的值来做，也就是说，它是一个单调函数。因此，您可以对问题的决策版本运行二进制搜索，寻找可能仍然有效的最小 k。

注意：您还可以通过按顺序测试 k 的每个值，并增加上次运行中获得的残差网络，而不是从头开始，从而摆脱二分搜索。但是，我决定解释二进制搜索版本，因为它在概念上更简单。