n 位数的总和

Question

所以我有点难为你了。我需要编写一个函数，该函数接受一个数字（称为 K）并输出 n 个数字，如果这些数字 == K，则总和。

例如，如果我给这个函数 (100,3) 它将输出 [1,2,97], [1,3,96], [1,4,95]... [97,1, 2]

我已经计算出三位数的函数：

k = 100
r = []
0.upto(k/2) do |a|
    (a+1).upto(k/2) do |b|
        c = k-(a+b)
        r << [a,b,c]
    end
end

如何编写这个需要 n 位数的函数？

Answer 1

这可能不是世界上最好的解决方案（所需的内存随着O(k^3) 而增长），但它是一个解决方案。欢迎提出改进建议。

您可能有兴趣阅读有关 integer partitions 的信息，这就是我们在这里计算的内容。

您正在寻找一个函数f(k,n)，它将计算将数字k 精确划分为n 部分的方法数。部分问题是很难判断何时计算分区两次。

我将通过使用另一个函数g(k,n,s) 来解决这个问题，该函数计算将数字k 划分为n 部分的方式的数量允许的最大值是 s .例如，我们不计算g(100,3,60) 中的分区(90,8,2) 或(64,20,16)，因为它们使用的值大于s=60。

g(k,n,s) = f(k,n) 当s>=k 时（即我们不对分区中允许的值设置最大值）。

关于g(k,n,s)的一些事实：

• k==n 暗示 g=1，因为将 k 划分为 k 部分的唯一方法是使用所有 1s（因此 s 是无关紧要的，因为我们使用了可能的最低数量）
• n>k 暗示 g=0 因为我们不能将 k 划分为多个 k 部分
• s==1 意味着 g=1 如果 k==n 和 g=0 否则，因为放置最大值 1 只允许将 k 分区到 k 部分（全部）
• n==1 意味着 g=1 如果 s>=k 和 g=0 否则，因为 k 到 n=1 部分的唯一分区要求我们在分区中使用 k 本身
• s<RoundUp(k/n) 暗示 g=0 因为我们不能使用小于 k/n 的值将 k 划分为 n 部分；例如，我们不能仅使用小于 25 的值对 100 int o 4 进行分区。
• s>k-n+1 暗示 g(k,n,s) = g(k,n,s-1) 因为在 k-n+1 之后增加最大值 s 不会添加任何新分区；例如，100 到 3 部分的任何分区都不会包含大于 100-3+1 = 98 的数字
• g(k,n,s) = g(k,n,s-1) + g(k-s,n-1,s) 在其他情况下。这只是将使用值s 的所有分区添加到我们使用最大值s-1 计算的所有先前分区中

现在我只需选择最大数 K 并将所有这些事实放入嵌套的 for 循环中并推导出 g(k,n,s) 的每个值。要获得f(k,n)，我只需要找到g(k,n,k)。

这是算法，不适合大K。

g = (K by K by K) array of all zeros

for k = 1:K
    for n = 1:K
        for s = 1:K

            if (k==n)
                val = 1;
            else if (n>k)
                val = 0;
            else if s==1
                val = int(k==n);
            else if n==1
                val = int(s>=k);
            else if s<RoundUp(k/n)
                val = 0;
            else if s>(k-n+1)
                val = g(k,n,s-1);
            else
                val = g(k,n,s-1) + g(k-s,n-1,s);
            end

            g(k,n,s) = val;

        end
    end
end

对于f(100,3) = g(100,3,100)，我得到833 唯一分区，如果您使用蛮力方法，您可以看到它是正确的。如有错误请指出。