Haskell 中的点 (.) 是怎么回事？

Question

我无法理解函数组合运算符在 Haskell 中的工作原理。我在简单的情况下理解它，您只使用带有一个参数的函数，但我不明白当您在多个函数上使用它时会发生什么，每个函数都带有多个参数。

考虑这个函数：

f1 = (*) . (+) 2 $ 1

这个函数所做的只是它接受一个数字并将其乘以三，因此它与以下内容相同：

f2 = (*) $ (+) 2 1

和

f3 = (*) 3

我完全了解 f2 中发生了什么，但我不明白 f1 中发生了什么，这使得两者相同。 (.) 接受两个函数和一个值，每个函数只能接受一个参数，因此在这种情况下，必须同时部分应用 (*) 和 (+) 才能使事情正常工作。我不明白它们适用于什么以及如何通过函数链发送。

在 f2 中，(+) 首先应用于两个函数，产生一个部分应用于 (*) 的值，从而创建一个函数。在 f1 中，不可能将 (+) 分配给两个值，因为 (.) 需要一个函数作为输入，但它们是相同的。这个我不明白。

我希望您能理解我在理解方面遇到的问题。提前致谢！

Answer 1

(.) 只是 Haskell 中的另一个函数：

(.) f g x = f (g x)

顺便说一句，f 和 g 都可能期望多个参数。这意味着

(f . g) = (.) f g = (\x -> f (g x))         -- !!

这是关键：Haskell 方程定义左侧的任何（最后一个）参数都可以转到右侧，在那里它成为（第一个）lambda 参数。

所以，

f1 = (*) . (+) 2 $ 1
   = ((*) . ((+) 2)) 1            -- this is how it is really read
   = (\x -> (*) ( ((+) 2) x )) 1
   =        (*) ( ((+) 2) 1 )
   =        (*) (  (+) 2  1 )
   =        (*) 3

真的没有什么秘密。

Answer 2

查看运算符优先级可能会有所帮助：

f1 = ((*) . ((+) 2)) $ 1

换句话说，它是(2+) 的(*) - 即\x -> (*) ((2+) x) - 在1 上，使其成为(*) ((2+) 1)，即(*) (2 + 1)，即(*) 3，即@987654329 @。

Answer 3

正如@minitech 指出的，首先要了解操作的顺序，即：

f1 = ((*) . ((+) 2)) $ 1

一般来说，对于二元运算f 和g，这个相等是真的：

((f . (g x)) $ y) z = f (g x y) z

我们只是使用 compose 运算符的定义：(f . g) a = f (g a)。

 (f . (g x)) $ y = (f . (g x)) y = f (g x y)

等等：

 ((f . (g x)) $ y) z = f (g x y) z

现在替换 f = (*)、g = (+)、x = 2 和 y = 1。

Answer 4

在操作顺序方面，Haskell 通常是：括号、函数应用程序、运算符、特殊形式。所以fact 8 + case h (f 3 + g 1) of Nothing -> 2 会解析为：

(+)
    fact
        8
    case
        h
            (+)
                f
                    3
                g
                    1
            Nothing
            2

f 和 g 先发生。就多个函数而言，f g h 隐含地为 (f g) h——这被称为“左结合”定律，但我喜欢称其为“贪婪 nom 定律”：一个函数消耗（“noms”）任何东西单一的东西就在它面前，没有等待，很满意。 （嗯——它可能会产生一个接受另一个参数的函数，当然......）

您的两个函数的解析树是：

f1 = (*) . (+) 2 $ 1
($)
    (.)
        (*)
        (+)
            2
    1

f2 = (*) $ (+) 2 1
($)
    (*)
    (+)
        2
        1

我们当然知道a $ b = a b是$的定义，a . b = \x -> a (b x)是.的定义。从中我们看到了深刻的认同：

(a . b) c == a $ b c

（$ 函数可以被认为是“懒惰的名义”，我是说a 将把表达式的整个其余部分作为它的参数。）

换句话说，函数应用程序将. 转换为$。这实际上就是您理解上述表达式所需的全部内容：

(*) . (+) 2 $ 1
--> ((*) . (+) 2) 1  [use explicit () instead of the precedence of $]
--> (*) $ (+) 2 1  [your expression]

直观地说，上面的(*) . (2 +) 表示“将(2 +) 的输出输入(*) 的输入。如果将4 输入到结果中，首先发生的是它计算@ 987654342@，输出6，然后输入(*)，生成(6 *)。