将字符串 a 转换为字符串 b

Question

给定 2 个字符串 A 和 B，您必须通过两个操作将 A 转换为 B：

• delete(i, len)：删除从i到A开始的len字符（可以不删除字符）
• insert(i, str)：在Ai-th 索引处插入字符串str（可以插入空字符串）

你必须尽量减少删除操作删除的字符数。

约束：

• insert 只能在删除后应用
• 删除和插入只能应用一次

示例 1：

A = aabcdef  
B = aaefg

回答：delete(2, 3); insert(4, "g")。总而言之，3个字符被删除，这是我们能做的最好的。

示例2：

A = aaaaa  
B = a

我们只需要删除4个字符

我想到了O(n^3) 和O(n^2) 的解决方案，但有人告诉我有比这更好的解决方案。

Answer 1

我想我有一个O(n) 解决方案。它分几个步骤完成。

首先，让我们重新表述问题。我们必须从A 中删除一个子字符串，并从B 中删除一个子字符串，这样剩下的就相等了。我们想从A 中删除作为可能的短子字符串。请注意，您的插入操作实际上等同于对B 的相同删除操作。

引理。如果从A 和B 中去掉相同的前缀或后缀，则不会影响最佳解决方案。把证据留给读者:)

现在，提取A 和B 的最大公共后缀和前缀，因此A=XA*Y、B=XB*Y，其中X 和Y 是子字符串。如果A* 或B* 为空，我们得到一个简单的退化情况。如果没有，让我们做一个新的符号A<-A*，B<-B*。

此时first(A) != first(B) 和last(A) != last(B)。否则，我们应该在上一步中包含一个通用符号作为前缀或后缀：

A = a1 A' a2
B = b1 B' b2

其中a1 = first(A)、a2 = last(A)、b1 = first(B)、b2 = last(B) 和A' 和B' 是A 和B 的子字符串。这里a1 != b1，a2 != b2。

要使A 和B 相等，我们必须从一个字符串中删除第一个符号，从另一个字符串中删除最后一个符号。你这里有两个案例。我们只考虑一个，从A 中删除第一个符号，从B 中删除最后一个符号。

您现在要做的就是从A 的开头删除尽可能少的符号，这样左边的后缀就等于B 的某个前缀。为此，您应该构造字符串A 的suffix tree 并遍历B 的所有前缀以检查它们是否出现在后缀树中。然后选择最大的。完成后，你就有了最大的字符串C，即A的后缀和B的前缀：

A = PC
B = CS

从A 中删除P 和从B 中删除S，您就完成了。

对于原始的A 和B（没有删除公共部分），我们有：

A = XPCY
B = XCSY

在问题的原始表述中，P被删除，S被插入。

后缀树可以在O(n) 中构建。在第一步中去掉最常用的后缀和前缀需要O(n)。后缀树遍历在O(n) 中完成。