带有哈希数组的背包 DP答案

【问题标题】：Knapsack DP with array of hashes带有哈希数组的背包 DP
【发布时间】：2012-08-20 11:10:56
【问题描述】：

我正在尝试使用非整数值减少 Knapsack DP 算法所需的时间和空间。

http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Meet-in-the-Middle_Algorithm

In particular, if the [elements] are nonnegative but not integers, we could 
still use the dynamic programming algorithm by scaling and rounding (i.e. using 
fixed-point arithmetic), but if the problem requires  fractional digits of 
precision to arrive at the correct answer, W will need to be scaled by 10^d,  
and the DP algorithm will require O(W * 10^d) space and O(nW * 10^d) time.

DP 背包算法使用 [ n x W ] 矩阵，用结果填充它，但有些列永远不会被填充 - 它们不匹配对象权重的任何组合。这样一来，它们最终只会在每一行上填充零，而且只是浪费时间和空间。

如果我们使用哈希数组而不是矩阵，我们可以减少所需的时间和空间。

edit:
knapsack capacity = 2
items: [{weight:2,value:3} ]

   [0   1   2]
   [0   0   0] 
2: [0   0   3]
        ^
Do we need this column?

Substitution with hash:
2: {0:0, 2:3}

在 Python 中，dict 插入有 O(n) 更坏的情况和 O(1) 的“摊销”线性时间。

我错过了什么吗？

背包 DP 算法的这种变体的复杂性是多少？

【问题讨论】：

我不关注。你试图如何改变它？你的字典的键/值是什么？
哈希将替换矩阵的“行”。键是权重，值是子集总和
您到底想保存什么？ “行”仍然需要相同数量的元素（权重）。如果您对此有不同的想法 - 我们很乐意听到。
这是一个例子。背包容量 2，物品：{重量：2，价值：3}。解决方案是微不足道的，取唯一的项目。我们真的需要代表权重“1”的列吗？
为了降低复杂性，与总行数相比，“需要”行数必须有一个上限。但是，上限等于总行数 - 可能需要所有行，因此这显然不会降低复杂性。在一般情况下，我们必须假设大多数行都已填充，例如：容量 1000, items = {2, 3}

标签： algorithm optimization dynamic-programming knapsack-problem decimal

【解决方案1】：

如果我可以这么说的话，您所说的是快乐的情况——在这种情况下，您可以将很少的物品放入一个容量很大的背包中。在这种情况下，hashmap 可以证明是优化触发复杂性从O(W * n) 到只是O(min(O(2^n * n), O(W * n)))（2^n 是 n 个元素的组合数）。但是，通过这种估计，很明显，对于没有那么多元素，O(2^n * n) 将主导其他估计。另外请注意，虽然O(W * n) 属于同一类，但后一种情况下的常数要大得多（甚至更多：第二种情况下的估计考虑了摊销复杂性，而不是最坏的情况）。

因此您会发现，在某些情况下，哈希映射可能会更好，但在通常情况下，情况正好相反。

【讨论】：

我认为您将相同的“n”名称赋予不同的事物。有效列上的哈希插入可能是 O(n) - 表示可用子集数量的列。与背包的容量 O(W) 没有直接关系。那么平均复杂度将是 O(nm)，最坏的情况是 O(nm^2)？
@lordkrandel：我很抱歉我的第一个答案，当我在 3 小时后读到它时，它甚至让我感到困惑。我现在改写了。希望它会有所帮助。