从 1D 中的投影重建 2D 形状答案

【问题标题】：Reconstructing a 2D shape from its projection in 1D从 1D 中的投影重建 2D 形状
【发布时间】：2015-06-22 10:36:39
【问题描述】：

我在二维空间（在 x-y 平面上）有一个凸封闭形状。我不知道它长什么样。我将这个形状大约围绕其边界框的中心旋转 64 次 5.625 度 (360/64)。对于每次旋转，我都有形状极值点的 x 坐标。换句话说，我知道每次旋转的形状的左右 x 范围（假设是正交投影）。如何在与 x 投影不矛盾的形状上获得 64 个点。请注意，2D 形状正在旋转，但坐标轴并未随之旋转。因此，如果您的对象是一条线，则绘制后每一端的 x 投影本质上将是一个 sin/cos 波，具体取决于其原始方向。

如果我有解决方案，旋转次数越多 - 我就越接近我的实际形状。

实际上，我不知道旋转形状的确切点，但是假设我知道的任何解决方案仍然会有所帮助，因为我不介意重建不完美。

【问题讨论】：

是透视投影还是正交投影？
您是否围绕已知坐标的固定点旋转？对于每次旋转，你得到两个坐标（左和右），还是只有长度？
如果您围绕单个轴旋转，并且只获得极端坐标，您将永远无法完全重建形状：您将获得的只是一个边缘平行于旋转轴的边界棱镜。您有两种选择：考虑多边形轮廓，或以两个角度旋转。
Yves：他正在观察二维空间中的一个形状（并围绕一个点旋转）。由于形状是凸的和闭合的，很容易证明一个点位于形状内当且仅当它位于 [0,2*PI] 中所有旋转角的一维投影内（没有不管哪一点是你的旋转中心）。为了证明这一点，找到任何将整个形状放置在所讨论点的左侧（或右侧）的旋转。假设这对于形状外的点是不可能的，将导致与凸形相矛盾。

标签： algorithm math geometry computational-geometry differential-equations

【解决方案1】：

我们使用直接的方法进行重构。

投影是物体的阴影。

您从一个 2D 边界框开始。对于每个投影，您从位于投影之外的 2D 形状左右部分切掉。因此，主函数计算两个凸二维形状的交集。您为每个投影计算这些交点。

我们有几个原始绿色物体的紫色投影P1、P2、P3、P4：

知道紫色投影的位置，构建来自投影端点的两条红色光线，并将它们与重建的对象相交：

红色物体是使用 4 个投影重建的。与原始绿色相比，您可以看到它们并不相同。您的预测越多，最终结果中的错误就越少。

【讨论】：

感谢您的回复 - 但 x 投影仅在 x 轴上。 x 轴不旋转。
2D 形状正在旋转，但坐标轴并未随之旋转。因此，如果您的对象是一条线，则绘制后每一端的 x 投影本质上将是一个 sin/cos 波，具体取决于其原始方向。
很好的答案，恶搞的问题和提问者。
@gayathrichittiappa，这个问题还不是很清楚。您对每个投影了解哪些信息？它只是对象旋转的角度和X 轴上投影的Xmin、Xmax 坐标吗？别的什么都没有？更具体地说，你知道物体旋转的点(x,y)的坐标吗？
什么都没有。在我的物理情况下，我不知道对象旋转的坐标。但也许我可以假设我们正在围绕第一个投影和第 17 个投影的中心定义的 x 和 y 旋转它，另一种选择是假设我们围绕原点 (0, 0) 旋转它，这与我的问题是什么。我试图找到一个不需要知道旋转中心是什么的解决方案。但不确定这是正确的方法