如何找到两个三角形的接触面积

Question

给定顶点的位置和表面法线。如何计算两个三角形接触的面积（可能为 0）？这些三角形也在 3D 空间中，所以如果它们没有正确排列，只是相互卡住，接触面积应该为 0。 （在 C# 中）

Answer 1

这不是一个小问题，所以让我们把它分解成几个步骤。

1. 检查两个三角形是否为coplanar，否则面积为0。
2. 将三角形投影到二维表面上
3. 计算交点多边形
4. 计算面积

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1。检查共面性

要使两个三角形共面，一个三角形的所有顶点必须位于另一个三角形所确定的平面内。

使用here 描述的算法，我们可以检查每个顶点是否是这种情况，但由于浮点数并不完全精确，您需要定义一些误差阈值来确定仍然算作什么共面。

假设 va 和 vb 分别是三角形 A 和 B 的向量，代码可能看起来像这样。
（注意：我从未使用过 Unity 并且正在编写所有内存中的代码，如果不是 100% 正确，请原谅）。

public static bool AreTrianglesCoplanar(Vector3[] va, Vector3[] vb) {
    // make sure these are actually triangles
    Debug.Assert(va.Length == 3);
    Debug.Assert(vb.Length == 3);

    // calculate the (scaled) normal of triangle A
    var normal = Vector3.Cross(va[1] - va[0], va[2] - va[0]);

    // iterate all vertices of triangle B
    for(var vertex in vb) {
        // calculate the dot product between the normal and the vector va[0] --> vertex
        // the dot product will be 0 (or very small) if the angle between these vectors
        // is a right angle (90°)
        float dot = Vector3.Dot(normal, vertex - va[0]).

        // the error threshold
        const float epsilon = 0.001f;
        
        // if the dot product is above the threshold, the vertex lies outside the plane
        // in that case the two triangles are not coplanar
        if(Math.Abs(dot) > epsilon)
            return false;
    }

    return true;
}

2。将三角形投影到二维空间

我们现在知道所有六个顶点都在嵌入到 3D 空间中的同一个 2D 平面中，但我们所有的顶点坐标仍然是 3D 的。因此，下一步是将我们的点投影到 2D 坐标系中，从而保留它们的相对位置。

This answer 很好地解释了数学。
首先，我们需要找到一组三个向量组成一个正交基（它们必须相互正交且长度为 1）。

1. 其中一个只是平面的法向量，因此我们需要另外两个与第一个正交且彼此正交的向量。
2. 根据定义，由三角形定义的平面中的所有向量都与法线向量正交，因此我们只需选择一个（例如从va[0] 到va[1] 的向量）并对其进行归一化。
3. 第三个向量必须与其他两个向量正交，我们可以通过取前两个向量的叉积来找到这样一个向量。

我们还需要在平面上选择一个点作为我们的原点，例如va[0]。

使用所有这些参数，并使用链接 amswer 中的公式，我们可以确定我们新的投影 (x, y) 坐标（来自另一个答案的t_1 和t_2）。请注意——因为我们所有的点都位于定义该法线向量的平面上——第三个坐标（在另一个答案中称为s）将始终（接近）零。

public static void ProjectTo2DPlane(
        Vector3[] va, Vector3[] vb
        out Vector2[] vaProjected, out Vector2[] vbProjecte
    ) {
    // calculate the three coordinate system axes
    var normal = Vector3.Cross(va[1] - va[0], va[2] - va[0]).normalized;
    var e1 = Vector3.Normalize(va[1] - va[0]);
    var e2 = Vector3.Cross(normal, e1);

    // select an origin point
    var origin = va[0];

    // projection function we will apply to every vertex
    Vector2 ProjectVertex(Vector3 vertex) {
        float s = Dot(normal, vertex - origin);
        float t1 = Dot(e1, vertex - origin);
        float t2 = Dot(e2, vertex - origin);
        // sanity check: this should be close to zero
        // (otherwise the point is outside the plane)
        Debug.Assert(Math.Abs(s) < 0.001);
        return new Vector2(t1, t2);
    }

    // project the vertices using Linq
    vaProjected = va.Select(ProjectVertex).ToArray();
    vbProjected = vb.Select(ProjectVertex).ToArray();
}

完整性检查：

• 顶点 va[0] 应投影到 (0, 0)。
• 顶点 va[1] 应该投影到 (*, 0)，所以在新的 x 轴上。

3。 / 4. 2D计算相交面积

This answer 这个答案提到了最后一步所需的算法。
Sutherland-Hodgman algorithm 依次将一个三角形与另一个三角形的每一边剪裁在一起。其结果将是三角形、四边形或空多边形。

最后，shoelace formula 可用于计算生成的裁剪多边形的面积。

把所有东西放在一起

假设你实现了CalculateIntersecionPolygon和CalculatePolygonArea这两个函数，最终的相交面积可以这样计算：

public static float CalculateIntersectionArea(Mesh triangleA, Mesh triangleB) {
    var verticesA = triangleA.GetVertices();
    var verticesB = triangleB.GetVertices();

    if(!AreTrianglesCoplanar(verticesA, verticesB))
        return 0f; // the triangles are not coplanar

    ProjectTo2DPlane(verticesA, verticesB, out Vector2[] projectedA, out Vector2[] projectedB);

    CalculateIntersecionPolygon(projectedA, projectedB, out List<Vector2> intersection);

    if(intersection.Count == 0)
        return 0f; // the triangles didn't overlap

    return CalculatePolygonArea(intersection);
}