谷歌地图两个圆的交点

Question

有没有一种简单的方法来获取Google Maps API V3 中两个circles 的交点（如果有）的lat/lng？还是我应该使用hard 方式？

编辑：在我的问题中，圆总是具有相同的半径，以防使解决方案更容易。

Answer 1

是的，对于相等的圆圈，可以制定相当简单的解决方案：
让我们第一个圆心是A点，第二个圆心是F，中点是C，交点是B，D。 ABC是直角球面三角形，角为直角C。

我们要找到角度 A - 这是从 A-F 方向的偏差角度。球面三角学（直角球面三角形的纳皮尔规则）给了我们公式：

cos(A)= tg(AC) * ctg(AB) 其中一个符号表示球面角，双符号表示大圆弧的角度（AB，AC）。我们可以看到 AB = 圆半径（当然是弧度），AC = 大圆弧上 A 和 F 之间的一半距离。 要查找 AC（和其他值） - 我将使用代码 from this excellent page

var R = 6371; // km
var dLat = (lat2-lat1).toRad();
var dLon = (lon2-lon1).toRad();
var lat1 = lat1.toRad();
var lat2 = lat2.toRad();

var a = Math.sin(dLat/2) * Math.sin(dLat/2) +
        Math.sin(dLon/2) * Math.sin(dLon/2) * Math.cos(lat1) * Math.cos(lat2); 
var c = 2 * Math.atan2(Math.sqrt(a), Math.sqrt(1-a)); 

和我们的

AC = c/2

如果给定的圆半径Rd是公里，那么

AB = Rd / R = Rd / 6371

现在我们可以找到角度了

A = arccos(tg(AC) * ctg(AB))

起始方位（AF方向）：

var y = Math.sin(dLon) * Math.cos(lat2);
var x = Math.cos(lat1)*Math.sin(lat2) -
        Math.sin(lat1)*Math.cos(lat2)*Math.cos(dLon);
var brng = Math.atan2(y, x);

交叉点的方位：

B_bearing = brng - A
D_bearing = brng + A

交点坐标：

var latB = Math.asin( Math.sin(lat1)*Math.cos(Rd/R) + 
              Math.cos(lat1)*Math.sin(Rd/R)*Math.cos(B_bearing) );
var lonB = lon1.toRad() + Math.atan2(Math.sin(B_bearing)*Math.sin(Rd/R)*Math.cos(lat1), 
                     Math.cos(Rd/R)-Math.sin(lat1)*Math.sin(lat2));

同样适用于 D_bearing

latB, lonB 以弧度为单位

Answer 2

computation the "hard" way 可以简化为 r1 = r2 =: r 的情况。我们仍然首先必须将圆心 P1,P2 从 (lat,lng) 转换为笛卡尔坐标 (x,y,z)。

var DEG2RAD = Math.PI/180;
function LatLng2Cartesian(lat_deg,lng_deg)
{
  var lat_rad = lat_deg*DEG2RAD;
  var lng_rad = lng_deg*DEG2RAD;
  var cos_lat = Math.cos(lat_rad);
  return {x: Math.cos(lng_rad)*cos_lat,
          y: Math.sin(lng_rad)*cos_lat,
          z: Math.sin(lat_rad)};
}

var P1 = LatLng2Cartesian(lat1, lng1);
var P2 = LatLng2Cartesian(lat2, lng2);

但是可以更容易地计算出包含圆的平面的交线。设d 为实际圆心（平面内）到曲面上对应点 P1 或 P2 的距离。一个简单的推导显示（R为地球半径）：

var R = 6371; // earth radius in km
var r = 100; // the direct distance (in km) of the given points to the intersections points
// if the value rs for the distance along the surface is known, it has to be converted:
// var r = 2*R*Math.sin(rs/(2*R*Math.PI));
var d = r*r/(2*R);

现在让 S1 和 S2 成为交点，S 成为它们的中点。对于 s = |OS| 和 t = |SS1| = |SS2|（其中 O = (0,0,0) 是地球的中心），我们可以从简单的推导中得到：

var a = Math.acos(P1.x*P2.x + P1.y*P2.y + P1.z*P2.z); // the angle P1OP2
var s = (R-d)/Math.cos(a/2);
var t = Math.sqrt(R*R - s*s);

现在由于r1 = r2 点 S、S1、S2 位于 P1 和 P2 之间的中间平面中。对于v_s = OS，我们得到：

function vecLen(v)
{ return Math.sqrt(v.x*v.x + v.y*v.y + v.z*v.z); }
function vecScale(scale,v)
{ return {x: scale*v.x, y: scale*v.y, z: scale*v.z}; }

var v = {x: P1.x+P2.x, y: P1.y+P2.y, z:P1.z+P2.z}; // P1+P2 is in the middle of OP1 and OP2
var S = vecScale(s/vecLen(v), v);

function crossProd(v1,v2)
{
  return {x: v1.y*v2.z - v1.z*v2.y,
          y: v1.z*v2.x - v1.x*v2.z,
          z: v1.x*v2.y - v1.y*v2.x};
}
var n = crossProd(P1,P2); // normal vector to plane OP1P2 = vector along S1S2
var SS1 = vecScale(t/vecLen(n),n);

var S1 = {x: S.x+SS1.x, y: S.y+SS1.y, z: S.z+SS1.z}; // S + SS1
var S2 = {x: S.x-SS1.x, y: S.y-SS2.y, z: S.z-SS1.z}; // S - SS1

最后我们必须转换回 (lat,lng)：

function Cartesian2LatLng(P)
{
  var P_xy = {x: P.x, y:P.y, z:0}
  return {lat: Math.atan2(P.y,P.x)/DEG2RAD, lng: Math.atan2(P.z,vecLen(P_xy))/DEG2RAD};
}
var S1_latlng = Cartesian2LatLng(S1);
var S2_latlng = Cartesian2LatLng(S2);

Answer 3

Yazanpro，很抱歉对此迟到的回应。

您可能对 MBo 方法的简洁变体感兴趣，它在两个方面进行了简化：

• 首先通过利用 google.maps API 的一些内置功能来避免大量的数学运算。
• 其次，使用2D模型来计算夹角，代替MBo的球面模型。我最初不确定这种简化的有效性，但我对a fork of MBo's fiddle 中的测试感到满意，即误差很小，但相对于地球大小而言是最大的圆圈（例如，在低缩放级别下）。

函数如下：

function getIntersections(circleA, circleB) {
    /* 
     * Find the points of intersection of two google maps circles or equal radius
     * circleA: a google.maps.Circle object 
     * circleB: a google.maps.Circle object
     * returns: null if 
     *    the two radii are not equal 
     *    the two circles are coincident
     *    the two circles don't intersect
     * otherwise returns: array containing the two points of intersection of circleA and circleB
     */

    var R, centerA, centerB, D, h, h_;

    try {

        R = circleA.getRadius();
        centerA = circleA.getCenter();
        centerB = circleB.getCenter();

        if(R !== circleB.getRadius()) {
            throw( new Error("Radii are not equal.") );
        }
        if(centerA.equals(centerB)) {
            throw( new Error("Circle centres are coincident.") );
        }

        D = google.maps.geometry.spherical.computeDistanceBetween(centerA, centerB); //Distance between the two centres (in meters)

        // Check that the two circles intersect
        if(D > (2 * R)) {
            throw( new Error("Circles do not intersect.") );
        }

        h = google.maps.geometry.spherical.computeHeading(centerA, centerB); //Heading from centre of circle A to centre of circle B. (in degrees)
        h_ = Math.acos(D / 2 / R) * 180 / Math.PI; //Included angle between the intersections (for either of the two circles) (in degrees). This is trivial only because the two radii are equal.

        //Return an array containing the two points of intersection as google.maps.latLng objects
        return [
            google.maps.geometry.spherical.computeOffset(centerA, R, h + h_),
            google.maps.geometry.spherical.computeOffset(centerA, R, h - h_)
        ];
    }
    catch(e) {
        console.error("getIntersections() :: " + e.message);
        return null;
    }
}

顺便说一句，不要不尊重 MBo - 这是一个很好的答案。