完美的权力检查答案

【问题标题】：Perfect Powers check完美的权力检查
【发布时间】：2012-01-17 19:24:13
【问题描述】：

完美幂是一个数 N，其中 A^B = N (A >= 1 , B >= 2)

这是我的代码。我试图找出在 1 和我选择的上限之间存在多少这些数字。

    static void Main(string[] args)
    {
        int PPwr_Count = 1; //number 1 is included by default.
        int Top_Limit = 1000000; //Can be any number up to 10^9
        for (int Number = 2; Number <= Top_Limit; Number++)
        {
            int myLog = (int)Math.Floor(Math.Log(Number, 2) + 1);
            for (int i = 2; i <= myLog; i++) 
            {
                //As a Math rule I only need to check below Base 2 Log of number
                int x = Convert.ToInt32(Math.Pow(Number, 1.0 / i));
                 if (Number == Math.Pow(x, i))
                 {
                     PPwr_Count++;
                     break;
                 }
                 else continue;
            }
        }
     }

目前正在运行。可悲的是，经过大约 1,000,000 次检查后，它变得相当缓慢。有什么办法可以提高这个算法的速度？

【问题讨论】：

Perfect power of two between two numbers 的可能重复项 --- 请参阅此以获得更好算法的示例。它特定于2，但很容易适应。
@Yuck 我不确定如何轻松调整这些解决方案。该问题中的所有解决方案都使用二进制逻辑，它们之所以有效，是因为该问题专门询问了 2 的幂。在答案可能是 3 的幂的情况下，单独的二进制运算将不起作用。
假设 A 和 B 是整数，您可能需要考虑搜索 B 和 A 而不是搜索 N，因为要考虑的数字要少得多。这里棘手的边界情况是具有多个表示的数字（例如 4^2 = 2^4），因此您需要进行一些额外的排除，而不仅仅是检查 A^B
它不仅仅是 2 的幂，它是任何符合 A^B = N (A >= 1 , B >= 2) 的幂

标签： c# algorithm math

【解决方案1】：

Math.Log 很贵，Math.Pow 很贵，双打很贵。你知道什么不贵吗？乘以整数。

一些理论：如果 A^B == n 且 n=2，则最大 A 接近 5*10^4。所以让我们拥有一套完美的权力。当 i*i

static void Main(string[] args)
    {
        int PPwr_Count = 1; //number 1 is included by default.
        int Top_Limit = 1000000000; //Can be any number up to 10^9
        HashSet<int> hs = new HashSet<int>();

        for (int A = 2; A * A <= Top_Limit; ++A)
        {
            if (!hs.Contains(A))
            {
                //We use long because of possible overflow
                long t = A*A;
                while (t <= Top_Limit)
                {
                    hs.Add((int)t);
                    t *= A;
                    PPwr_Count++;
                }
            }
        }
        Console.WriteLine(PPwr_Count);
    }

编辑：在我的笔记本电脑上调试时运行不到半秒。

【讨论】：

我刚试了一下，效果非常好，非常感谢！

【解决方案2】：

将 Math.Log(Number, 2) + 1 移出 for 循环。

int myLog = (int)Math.Floor(Math.Log(Number, 2) + 1);
for (int i = 2; i <= myLog; i++)

【讨论】：

好电话，我什至没有注意到。您应该在回答中解释如何在每次迭代中重新计算 Math.Log(Number, 2) + 1。
谢谢。刚刚编辑了我的代码。它改善了时间，但仍然很慢。我相信我的实现应该改变。

【解决方案3】：

在 A 和 B 的空间中搜索比在 N 中搜索更容易。从 [2,...,sqrt(N)] 中搜索 A，从 [List of prime numbers] 中搜索 B。

【讨论】：

【解决方案4】：

我倾向于使用完全不同的方法。

首先，创建一个迭代器，枚举所有质数，直到最大大小的平方根。所以 2、3、5、7、11...

更新：等一下，这不起作用。例如，36 并不是完美的幂。

让我修改一下。

创建一个迭代器，枚举从 2 到最大大小的平方根的所有数字。

接下来，创建一个迭代器，枚举一个特定给定数字的所有完美幂，直到最大大小。即 2², 2³, 2⁴, ...

现在，将两个迭代器与多选查询结合起来，生成：2²、2³、2⁴, ... 3², 3³, 3⁴, ..., 4², 4 ³, 4⁴, ...

从生成的查询中构建一个哈希集，以形成小于最大大小的所有数字的所有完美幂的并集，直到最大大小的平方根。

生成的散列集的大小就是你寻找的数字。

【讨论】：

我喜欢你的想法，谢谢。但是我不明白关于“枚举给定数字的所有完美幂直到最大大小的迭代器”的部分。这不是我真正想要做的吗？你介意再解释一下吗？再次感谢。
@JeanCarlosSuárezMarranzini：你说得对，不是很清楚。我会澄清的。
你不需要 As 是素数，只要有 Bs 作为素数就足够了（这是我上面描述的解决方案）。

【解决方案5】：

另一种选择不是遍历所有数字并检查它们是否是幂，您可以做相反的事情：生成所有完美的幂。

所以如果从2开始，计算2^1、2^2等。然后计算3^1、3^2、3^3等。您可能还希望将每个结果存储在 HashSet 中，以便消除双精度。最后，计数就像hash.Count一样简单

我不确定它的性能如何与您的代码叠加（它肯定会降低空间效率），但另一个角度可能会起作用。

【讨论】：

哈，我们同时有同样的想法。请注意，您要计算 2^2、2^3 等，而不是从 2^1 开始。如果你从第一个幂开始，那么每个数都是完美的幂。

【解决方案6】：

我会尝试从另一个方向处理算法..

从 a = 2 和 b = 2 开始，遍历每个 b 直到 a ^ b > max_limit

~~这个方法的诀窍是只测试 a 的素数值~~

此方法的诀窍不是测试完美幂的 a 值（例如，不测试 4、8、9 等）

【讨论】：

我试过了，但有时数字太高而无法控制。也许我应该向前看去解决它。