生成三角不等式成立的图

Question

我想生成一组相当大 (~10,000-50,000) 的完整图 G=(V,E)，其中 sharp 三角不等式成立 - 所以对于每个 v,u,w from V： 重量(vu) + 重量(uw) > 重量(vw);权重是正整数。

编辑 顶点是 N 维欧几里得空间中的点，并且边 uv 的每个权重必须大于或等于 u 和 v之间的欧几里得距离>（因此，如果距离是例如 2.753，则允许的最小权重为 3，但可能是 4、5、...）。

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到目前为止，我想出了两种幼稚的方法。 这两种方法都是基于N维欧几里得空间中的随机生成点。

一些符号：

• vu 或 vertex1-vertex2 表示一条边
• E(v,u) -- v 和 u 之间的欧式距离
• 对于双精度数/实数 r，ceil(r) 是整数 n，使得 n - 1
• (vu,c) -- 边 vu 的权重为 c

方法一——本地

vertices = {v,u} -- v, u generated randomly
edges = {vu} 
weights = {(vu,ceil(E(v,u))} 
i = 0
while(i < total_number_of_vertices)
    candidate = generate_new_point()
    ok = true
    foreach (vertex in vertices):
        integer_distance = ceil(E(candidate,vertex))
        if adding (candidate-vertex, integer_distance) to weights
           violates the triangle inequality:
               ok = false \\ this candidate is wrong
               break \\ breaking for-each; start with new candidate
        end_if
    end_for_each
    if(ok)
         i++
         add candidate to vertices, 
         for_each vertex in vertices:
             add vertex-candidate to  edges
             add (vertex-candidate, ceil(E(candidate,vertex))) to weights
         end_for_each          
     end_if
end_while            

方法二——全局

vertices = generate_points(total_number_of_vertices)
edges = complete Graph induced by vertices
weights = {}
for_each edge uv:
    add (uv, ceil(E(u,v))) to weights
end_for_each
all_good = false
while (!all_good):
    all_good = true
    for_each edge in edges:
         \\ this one has to be check in all triangles that edge belongs to
         if edge violates triangle inequality:
             \\ by appropriate I mean directly involved
             update appropriate weights to satisfy triangle inequality
             all_good = false \\ 'updating one edge may disturb other'
         end_if
    end_for_each
end_while

我非常怀疑这些方法是否足够有效，所以任何帮助——改进它们或提出完全不同的方法——将不胜感激。

如果以上任何内容不够清楚，我会提供更多信息。

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如果结果是这样，保持权重为正数integers 太难了，我可以考虑将它们作为正数doubles，但在这种情况下，浮点精度可能是一个需要处理的问题 [因为我真的需要 sharp 三角不等式]

Answer 1

我将提出另一种天真的方法，尽管是 O(E) 方法。选择一个范围R = [A, B)，其中2A > B。这意味着如果权重在R 中，则保证三角不等式成立。

例如，B = 100。因此A = B/2 = 50。为每条边选择一个介于 50 到 99 之间的随机数。

您可以通过将随机数添加到您的欧几里得距离来满足您的欧几里得空间要求。