从多个集合中选择全局不同的值

Question

我有 N 个列表，其中包含不同数量的对象，每个列表都有 X 个所需的不同值。

一个简单的例子：

List1 = [ 1,2,3,4 ] : 2
List2 = [ 2,3,4 ] : 1
List3 = [ 1,2,4 ] : 1

这里的一种解决方案是从 List1 中选择 1 和 2，从 List2 中选择 3，从 List3 中选择 4

但如果问题看起来像这样，就没有解决办法

List1 = [ 1,2,3,4 ] : 2
List2 = [ 2,3,4 ] : 2
List3 = [ 1,2,4 ] : 1

因此，解决此问题的蛮力解决方案是从第一个列表中选择所需数量的对象，然后从第二个列表中选择所需数量的对象，其中所选对象不能在前一个列表中。如果失败，请从第一个列表中选择其他对象，依此类推。

然而，这并不高效，如果有的话，我可能会在找到解决方案之前尝试所有组合。

那么，有没有其他方法可以解决这个问题？

Answer 1

这个问题可以用流网络的形式重新表述，并使用多个maximum flow algorithms来解决：

• 添加源顶点 S
• 为每个集合添加一个顶点 G_i
• 从 S 到 G 添加一条边_i，其容量等于要选择的项目数
• 为所有集合的联合中的每个不同数字添加一个顶点N_i
• 在集合包含数字的每个 G_i 和 N_i 之间添加一条容量为 1 的边
• 添加汇顶点 T
• 在每个 N_i 和 T
之间添加一条容量为 1 的边

您的问题的流网络如下所示：

如果最大流算法产生的流不等于所需的不同数字的总数，则问题无法解决。否则，使用算法为 G_i 和 N_i 之间的边分配容量来决定要分配哪些数字从每组中取出。