如何证明任何 LL(1) 文法都不可能有歧义？
我知道什么是歧义语法，但无法证明上述定理/引理。
【问题讨论】：
标签： compiler-construction grammar
我认为这几乎是 LL(1) 定义的直接结果。尝试反证法；假设你有一个模棱两可的 LL(1) 语法，并寻找你可以证明是真的和不真的东西。作为起点，“您在处理输入时始终知道什么？”
由于这似乎是一个家庭作业问题，实际上我还没有完成比我上面概述的问题更多的问题，所以我会停在那里。
【讨论】：
这是我在校样中的初稿。它可能需要一些微调，但我认为它涵盖了所有情况。我认为许多解决方案都是可能的。这是一个直接的证明。
（旁注：很遗憾 SO 不支持数学，例如在 LaTeX 中。）
证明
令 T 和 N 为终结符和非终结符的集合。
让以下保持
MaybeEmpty(s) = true <=> s ->* empty
First(s) = X containing all x for which there exists Y such that s ->* xY
Follow(A) = X containing all x for which there exists Y,Z such that S ->* YAxZ
请注意，如果以下对每对产生式 A -> B 和 A -> C 成立，则文法是 LL(1)：
1. (not MaybeEmpty(B)) or (not MaybeEmpty(C))
2. (First(B) intersect First(C)) = empty
3. MaybeEmpty(C) => (First(B) intersect Follow(A)) = empty
考虑一种带有 is LL(1)、A -> B 和 A -> C 的语言。
也就是说，有一些终结符串 TZ 允许不同的解析树进行多次推导。
假设左导达到S ->* TAY ->* TZ。下一步可能是TAY -> TBY 或TAY -> TCY。
因此，如果 BY ->* Z 和 CY ->* Z 都存在，则该语言是模棱两可的。
（请注意，由于 A 是任意非终结符，如果不存在这种情况，则该语言是无歧义的。）
案例 1：Z = 空
根据 LL(1) 文法的规则 1，B 和 C 中最多有一个可以导出为空（非歧义的情况）。
案例2：Z非空，B和C都不为空
根据 LL(1) 语法的规则 2，B 和 C 中最多有一个可以允许进一步推导，因为 Z 的前导终结符不能同时出现在 First(B) 和 First(C) 中（非歧义情况）。
案例 3：Z 非空，并且是 MaybeEmpty(B) 或 MaybeEmpty(C)
注意 LL(1) 语法的 by 规则 1，B 和 C 不能都导出为空。因此假设MaybeEmpty(C) 为真。
这给出了两个子案例。
案例3a：CY -> Y；以及案例 3b：CY ->* DY，其中 D 不为空。
在 3a 中，我们必须在 BY ->* Z 和 CY -> Y ->* Z 之间进行选择，但请注意 First(Y) subset-of Follow(A)。由于Follow(A) 不与First(B) 相交，因此只能进行一次推导（非歧义）。
在 3b 中，我们必须在 BY ->* Z 和 CY ->* DY ->* Z 之间进行选择，但请注意 First(D) subset-of First(C)。由于First(C) 不与First(B) 相交，因此只能进行一个推导（非歧义）。
因此，在每种情况下，推导只能通过可用的产生式之一进行扩展。因此语法没有歧义。
【讨论】：
证明没有歧义文法可以是 LL(1) 文法。有关提示，请参阅http://www.cse.ohio-state.edu/~rountev/756/pdf/SyntaxAnalysis.pdf，幻灯片 18-20。另见http://seclab.cs.sunysb.edu/sekar/cse304/Parse.pdf，第 1 页。 11 及之前。
【讨论】：