具有源 S 和汇 T 的流网络，如何找到任意 2 个顶点之间的最大流量？

Question

给定一个具有源 s 和汇 t 的流网络。对于每两个节点 u，v，假设从 u 到 v 的容量与从 v 到 u 的容量相同。给定两个顶点 x、y，设计一个多项式时间算法来找到从 x 到 y 的一条路径，您可以沿着该路径发送尽可能多的流量。 简要证明您的算法的正确性并分析运行时间。

非常感谢

Answer 1

你面临的问题叫做最大流算法，它有多个solutions，而且都是多项式的。

你可以使用Ford–Fulkerson algorithm，因为它很容易理解，并且你可以看到维基页面有你想要的关于这个算法的所有东西。

编辑：我之前提供的答案并没有给你单一的路径，而是给你最大的流量。

要找到单一路径，您只需在 x 和 y 之间的每条路径中找到瓶颈。瓶颈是指路径中容量最低的边缘，因为路径的容量就是该边缘的容量。

为了找到每条路径中的最低容量，您可以简单地从图表中从最低容量到最高容量开始移除边，并从图表中移除每条边，只需检查 x 和 y 是否连接。使 x 和 y 断开连接的第一条边是您想要的边，它的容量就是您想要的容量。因为 x 和 y 之间的每条路径要么有这条边，要么有一条容量较低的边。

算法的时间复杂度：

1. 排序边缘：O(E log E)。
2. 删除每条边，直到找到所需的边：O(E)。
3. 在第二步检查连通性：O(V + E)（使用Strongly connected component算法检查）

所以算法的复杂度是：O(E log E) + O(E V + E²) = O(E V + E²)