不相交集算法中按大小联合与按等级联合答案

【问题标题】：union by size vs union by rank in disjoint-set algorithm不相交集算法中按大小联合与按等级联合
【发布时间】：2020-11-25 17:24:50
【问题描述】：

简而言之：按等级联合是否仅在某些情况下有效？

例如，输入是： (1, 2), (3,4), (3,5)，在我们对它们运行不相交集算法之后：

其中一个正确的输出应该是(1,2), (3,4,5)。而根（2组的代表）分别是2和4。森林应该是这样的：

2                 4
 \               / \
  1             3   5

问题来了，如果我需要按输出的大小按降序对输出进行排序（所以首先是更大的大小）：

如果我使用 union by size（只是它的后代数量，包括节点本身），size(2) == 2，size(4) == 3，那么正确的集合应该放在第一位。一切都好；

如果我使用 按等级联合（其高度的上限），rank(2) == 1，rank(4) == 1，左右集是相等的，这不是我想要的。所以union by rank在这种情况下失败了，NO good！

这是为什么呢？这是否意味着按等级联合有其局限性？如果是这样，在什么情况下我们可以使用union by rank？ union by size 是否更通用？

【问题讨论】：

我不清楚你在问什么。您是否尝试按大小升序输出不相交的集合？ “按等级联合”在什么意义上不起作用？您是说对于某些根 A 和 B，您可以有 rank(A) size(B)？
@PaulHankin 嗯，很抱歉造成混乱。我打算按大小降序输出不相交的集合；如果我使用 union by rank，则 2 个集合的等级均为 1，这不是正确的输出。因此，在这种情况下，按等级联合 不起作用。我想知道这是 union by rank 的限制还是我执行错了？

标签： algorithm graph disjoint-sets union-find

【解决方案1】：

union-by-rank 启发式和 union-by-size 启发式的要点是最小化 Merge 操作的预期运行时间。它们不用于任何其他目的。

您的用例显然涉及按大小对集合进行排序，这是一种不寻常但并非闻所未闻的事情。如果您使用 union-by-size 启发式，则无需额外工作即可完成此操作。（这并不会影响渐近复杂性，因为即使在按等级进行联合时，每个集合的大小也可以轻松维护。）因此，对于这个用例来说，按大小联合听起来对您来说更方便。但它们都工作在它们设计的上下文中。

【讨论】：