旅行商最小生成树变体答案

【问题标题】：traveling salesman minimum spanning tree variant旅行商最小生成树变体
【发布时间】：2015-03-26 20:48:47
【问题描述】：

我正在尝试解决以下图形练习：

在无向加权图中，有 V 个顶点和 E 个边。从标记为 0 的顶点开始，找到访问 T(T

这不是一个经典的旅行商问题，因为添加了一个条件，如果你访问两个顶点，它们之间的边的权重会减少到 0。

如果 T == V，则使用 Prim 的最小生成树算法解决该问题，但由于您不必访问所有顶点，因此不会总是返回最小权重。

我考虑过找到最小生成树，然后切割不会妨碍我到达所有“目标”顶点的能力的每条边，但这似乎过度且可能不正确。

有什么想法吗？

编辑：我给你举个例子。假设我们有一个带有 4 个顶点标记为 0、1、2 和 3 的图。我们有以下边（从、到、权重）： (0,1,1) (0,2,2) (1,3,4) (2,3,1) 最小生成树将包含边：(0,1,1)、(0,2,2) 和 (2,3,1)。有了它，每个顶点都可以从 0 开始到达。但是，练习的目标是达到 T 个顶点。话虽如此，例如，我们可能只需要到达顶点 2 和 3，从而不需要边 (0,1,1)，因此到达目标顶点所需的总权重是 2+1，而不是 1 +2+1。

【问题讨论】：

如果您需要最小的权重总和，Prim 的算法也会为您提供正确的部分总和。
如果你需要最小化使用的最大边，你可以在那个最大值上进行二分搜索。对于给定的最大值，很容易（DFS 或 BFS）找到是否至少有 T 个顶点可以访问。
@Gassa 因此，如果我总共有 10 个顶点，并且我只需要访问顶点 1、4 和 7，例如，Prim 的算法会给我所需的最小总和吗？
在 T-1 次迭代后停止 Prim 不是答案。考虑一个图，其中 0 连接到 (1) 一条边长度为 10 的路径 (2) 一条长度为 100 的边，依次连接到一条边长度为 1 的路径。如果 T 足够大，我们希望使用 edge长度为 1，但 Prim 将无限期地探索 10s。
@Gassa 我添加了一个应该阐明任务的示例。

标签： algorithm graph traveling-salesman minimum-spanning-tree prims-algorithm

【解决方案1】：

看起来您的问题本质上是Steiner tree problem，已知它是 NP-hard。

确实，您有一个无向加权图 (V, E)。给定 V 的子集 T，你想找到一棵总权重最小的树，它覆盖了 T 的所有顶点。

这是一个最明显的贪婪想法不起作用的例子。假设我们的图是一个非常规四面体ABCD 的顶点和边，其中AB=BC=CA=5 和AD=BD=CD=3。如果我们想将 A、B 和 C 连接在一起，我们能做的最好的事情是使用边 AD、BD 和 CD，总权重为 9。如果我们决定不使用D，我们必须取两条边的长度分别为5，总权重为10。但是，集合ABC 的每个两个顶点子集都使用一个权重直接边5（AB、BC 或CA）并且在最优解中没有到顶点D 的边。

（哎呀！在三维欧几里得几何中不可能有确切的长度。不过，它将作为示例。）

【讨论】：

我赞成大量澄清；图版本有近似算法吗？