如何修改此 Held-Karp 算法以搜索哈密顿路径而不是循环？答案

【问题标题】：How to modify this Held-Karp algorithm to search for Hamiltonian path instead of cycle?如何修改此 Held-Karp 算法以搜索哈密顿路径而不是循环？
【发布时间】：2017-01-06 14:54:07
【问题描述】：

我在Wikipedia 之后在 Java 中实现了 Held-Karp，它为循环的总距离提供了正确的解决方案，但是我需要它来给我路径（它不会在开始的同一个顶点上结束） .如果我从循环中取出重量最大的边缘，我可以获得路径，但是有可能2个不同的循环具有相同的总距离，但最大重量不同，因此其中一个循环是错误的。

这是我的实现：

//recursion is called with tspSet = [0, {set of all other vertices}]

private static TSPSet recursion (TSPSet tspSet) {
    int end = tspSet.endVertex;
    HashSet<Integer> set = tspSet.verticesBefore;

    if (set.isEmpty()) {
        TSPSet ret = new TSPSet(end, new HashSet<>());
        ret.secondVertex = -1;
        ret.totalDistance = matrix[end][0];
        return ret;
    }

    int min = Integer.MAX_VALUE;
    int minVertex = -1;
    HashSet<Integer> copy;

    for (int current: set) {
        copy = new HashSet<>(set);
        copy.remove(current);

        TSPSet candidate = new TSPSet(current, copy);

        int distance = matrix[end][current] + recursion(candidate).totalDistance;

        if (distance < min) {
            min = distance;
            minVertex = current;
        }
    }

    tspSet.secondVertex = minVertex;
    tspSet.totalDistance = min;

    return tspSet;
}

class TSPSet {
    int endVertex;
    int secondVertex;
    int totalDistance;
    HashSet<Integer> verticesBefore;

    public TSPSet(int endVertex, HashSet<Integer> vertices) {
        this.endVertex = endVertex;
        this.secondVertex = -1;
        this.verticesBefore = vertices;
    }
}

【问题讨论】：

标签： java algorithm traveling-salesman

【解决方案1】：

您可以稍微改变动态编程状态。

让路径从节点S 开始。让f(subset, end) 成为经过subset 中所有顶点并以end 顶点结束的路径的最优成本（S 和end 必须始终在subset 中）。过渡只是通过使用end->V 边添加一个新顶点V 而不是subset。

如果您需要以T 结尾的路径，答案是f(all vertices, T)。

附注：您现在所做的不是动态编程。这是一个详尽的搜索，因为您不会记住子集的答案并最终检查所有可能性（这会导致O(N! * Poly(N)) 时间复杂度）。

【讨论】：

是的，这种方法似乎有效。为什么这不是动态编程呢？我需要改变什么才能使用动态编程来做到这一点？谢谢。
@leonz 你需要添加备忘录。也就是说，您可以创建一个映射（整数集，最后一个节点）-> 值，这样您就不会两次计算同一状态的值。在您的代码中，可以多次计算状态的值。这是正确的，但使用记忆化可能会更快。

【解决方案2】：

当前方法的问题

考虑这个图表：

访问所有顶点的最短路径（每个顶点一次）长度为3，但最短循环为1+100+200+300，即使去掉最大权重边也是301。

也就是说，通过从最短循环中删除一条边来构造最短路径是不正确的。

建议的方法

将循环算法转换为路径算法的另一种方法是向图中添加一个新节点，该节点对所有其他节点具有零成本边。

原图中的任意一条路径都对应这个图中的一个环（路径的起点和终点就是额外节点所连接的节点。

【讨论】：