是否可以使用 Dijkstra 的最短路径算法来找到最短的哈密顿路径？（多项式时间）答案

【问题标题】：Is it possible to use Dijkstra's Shortest Path Algorithm to find the shortest Hamiltonian path? (in Polynomial Time)是否可以使用 Dijkstra 的最短路径算法来找到最短的哈密顿路径？（多项式时间）
【发布时间】：2014-06-25 00:03:24
【问题描述】：

我读过在图中查找Hamiltonian path 是否存在的问题是NP-Complete，并且由于Dijkstra's Shortest Path Algorithm 在多项式时间内运行，因此无法对其进行修改以找到最短的哈密顿路径。（这个逻辑有效吗？）

但是，如果给定无向图上的两个节点（比如 A 和 Z）（所有边的成本都非负），并且给定的节点（A和 Z) 作为终点。鉴于这些规范，现在是否可以修改 Dijkstra 的算法以找到以 A 和 Z 作为端点的最短哈密顿路径？（多项式时间）

注意：我只关心从两个节点中找到最短的哈密顿路径。例如，如果有一个包含 26 个节点（标记为 A 到 Z）的图，那么通过所有点但从 A 开始并在 Z 结束的最短路径是什么。（我不关心找到其他不同的哈密顿路径端点，只有 A 和 Z）

附加问题：如果答案是“否”，但有另一种算法可以用来解决这个问题，它是什么算法，它的时间复杂度是多少？

（注意：这个问题有“hamiltonian-cycle”作为标签，即使我正在寻找一个 Hamiltonian PATH，因为我没有足够的代表来制作标签“hamiltonian-path”。但是，让我们说A和Z正好由一条边连接，那么通过找到最短哈密顿圈，然后去掉连接A和Z的边，可以找到最短哈密顿路径）

【问题讨论】：

你可以用任何东西解决任何问题；只是在这种情况下你不能有polynomial time reduction
在你的第一句话中：如果“P 和 NP 是否重合？”可以回答“是”，那么你的逻辑是有效的。
当某些特殊条件适用于问题时，可以在多项式时间内解决许多 NP 问题。这是因为有时，NP 问题是其最通用应用领域的 NP 问题。但是当你开始提出假设时，可能会有简化。您的问题中有多个“给定”，因此您有机会。
这个问题似乎是题外话，因为它是关于图论的。这是一个有趣的问题，但我认为它更适合math.stackexchange.com
可能更适合Theoretical Computer Science。

标签： algorithm graph-theory dijkstra np-complete hamiltonian-cycle

【解决方案1】：

不，这是不可能的。您的简化问题仍然是 NP-hard。旅行推销员的减少：

给定一个图(V, E)，找出访问每个v in V 一次的最短路径。取任意顶点v in V。将v 拆分为两个顶点v_source 和v_sink。使用您的算法找到从v_source 到v_sink 的最短哈密顿路径P。 P 是最短周期，从 v 开始和结束，它访问每个 v in V。由于P 是一个循环，因此“起始”顶点无关紧要。所以P也是旅行商问题的解。

减少显然是多项式时间（实际上是常数），所以你的问题是 NP-hard。

【讨论】：

【解决方案2】：

但是如果给定一个无向节点上的两个节点（比如 A 和 Z）怎么办？图（所有边都具有非负成本），并且给出给定节点（A 和 Z）至少存在一条哈密顿路径作为终点。鉴于这些规范，现在是否有可能修改 Dijkstra 算法以找到最短的哈密顿路径 A 和 Z 作为端点？（多项式时间）

您打算如何修改它？这仅在 A 和 Z 之间只有一条路径并且它访问图表上的所有其他点时才有效。否则，Dijkstra 将终止一些仅访问某些节点子集的较短路径。如果 A 和 Z 之间存在哈密顿路径，则可以解决最长路径问题，但这也是 NP-hard。

【讨论】：