【发布时间】：2015-01-30 18:00:13
【问题描述】：
输入： 我们有一个有向图 G=(V,E)，每条边都有一个权重和一个颜色 {red,green}。我们还给出了一个起始节点 s。
问题/算法：我们能否找到 G 的所有 u 个边，最短路径 s-u 最多有 k 个红色边？
第一种方法：我们为每个节点保存具有 0,1...k 个红色边的最短路径。我们修改了 Dijkstra 的算法，并根据我们正在查看的边缘的颜色，分别更新距离。这种方法由于其复杂性而失败。
第二种方法：我们制作 G 图的 k 个副本（G1,G2 ...Gk+1）。为了利用 k 个红边约束，当我们用 Dijkstra 搜索最短路径时，每次我们在 Gi 中“遇到”红边 {ui,vi} 时，我们将 ui 与 Gi+1 中的 vi+1 连接起来。因为 Gk+1 没有任何红边，我们只能到达 Gk+1 最多有 k 条边。但是它失败了。例如，在 k=2 的情况下，如果找到到 X 节点的 2 条红色边最短路径，则不会考虑红色边较少的较重路径，这可能导致未发现的节点。 （如果我有足够的声誉，我可以发布一张图片作为示例）。
有什么想法吗？
【问题讨论】：
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我认为您的方法实际上是等效的，并且它们（两者）都是合理的。特别是，您认为方法#2 错误的推理本身就是错误的：对于原始图中的任何节点 X，新图中都没有单个对应的节点 X；相反，每个使用的红色边数都有单独的顶点。因此，您正在考虑的两条路径实际上并不是到同一个节点：一条是到（X，使用 2 个红色边缘），另一条是到例如（X，使用了 1 个红边）。
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我的意思是，如果对于方法#1，对于使用的每个红色边数，您只记录 到每个节点的最短距离，则这些方法是等效的。你不需要记录整个路径（就像你不需要为普通的 Dijkstra 记录一个普通的最短路径问题一样）。
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所以我可以将我复制的任何新节点视为一个新节点，我应该单独检查。在算法结束时，为了找到最短路径，我应该检查与相同初始节点对应的每个重复节点？
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是的。您还需要确保对于 G 中的任何红色边 {u, v}，您删除所有 Gi 的相应边 {ui, vi}（以及添加边 {ui, vi+1})。您可能有意这样做，但您并没有明确说明。
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谢谢先生，你帮了我很多。我希望我能给你声誉：D
标签： algorithm graph graph-theory graph-algorithm dijkstra