网络流和整数线性规划答案

【问题标题】：Network Flow and Integer Linear programming网络流和整数线性规划
【发布时间】：2013-10-27 15:38:08
【问题描述】：

我们都知道网络流的问题可以归结为线性规划。但是，当我们解决网络流量问题时，我们需要流量始终是整数。所以我认为网络流量应该简化为整数线性规划。由于ILP是NP完全的，网络流量问题也应该是NP完全问题。但这与我们所学到的相矛盾，因为网络流的运行时间是 O(Cm)！我哪里错了？是不是因为网络流问题的运行时间是像背包问题（Wn）一样的伪多项式时间？我现在很困惑！

【问题讨论】：

并非所有 ilp 问题都是 NP 完全问题。例如。分配问题可以使用匈牙利算法在多项式时间内解决。
不管怎样，网络流量可以在多项式时间内完成，而不仅仅是伪多项式时间。

标签： algorithm network-flow

【解决方案1】：

从技术上讲，您仍然必须证明减少需要多项式时间，但这是一个更小的问题。主要问题是您的减少是错误的方法。

要证明某事是 NP 完全的，你需要做两件事：

表明它在 NP 中
证明它也是 NP 难的。

要使用归约进行后者，您需要将 ILP 归约为网络流量，而不是将网络流量归约为 ILP。减少的重点是表明，如果您可以解决给定的问题（在本例中为网络流），您可以在多项式时间内解决 ILP（以及扩展的每个 NP 问题）。通过减少错误的方式，您实际上已经证明，如果您可以在多项式时间内解决 ILP，那么您可以在多项式时间内解决网络流（这是正确的，但由于网络流在 P 中，这是无用的）。

【讨论】：

所以你的意思是我们可以将网络流量减少到 ILP，而我们不能将 ILP 减少到网络流量，对吗？
为什么ILP不能减少到网络流量？是因为归约不能花费多项式时间吗？
我从来没有说过我们不能从 ILP 减少到网络流。我所说的是，从 ILP 减少到网络流是您在网络流的 NP 完整性证明中想要的，而不是相反。
我的理解是，是的，任何当前已知的从 ILP 到网络流的减少都不是多项式时间。据我所知，是否存在这样的多项式时间缩减是一个悬而未决的问题。它的存在至少表明 P = NP。