储层抽样无法理解概率答案

【问题标题】：Reservoir Sampling unable to understand probability储层抽样无法理解概率
【发布时间】：2015-09-09 01:56:16
【问题描述】：

为了明确以下是问题：

给定一个长度不确定的输入流，如果不允许存储超过恒定数量的输入，您如何返回该流的随机成员（每个成员的概率相等），并且您可以只通过输入一次

这个问题的解决方案似乎是水库采样，它在下面说明。 “首先，您要创建一个包含 1,000 个元素的容器（数组），并用流中的前 1,000 个元素填充它。这样，如果您恰好有 1,000 个元素，算法就可以工作。这是基本情况。

接下来，您要处理第 i 个元素（从 i = 1,001 开始），以便在处理该步骤结束时，您的水库中的 1,000 个元素在您目前看到的 i 个元素中随机抽样.你怎么能做到这一点？从 i = 1,001 开始。在第 1001 步之后，元素 1,001（或与此相关的任何元素）应该在 1,000 个元素的集合中的概率是多少？答案很简单：1,000/1,001。”

我无法理解最后一句“答案很简单：1,000/1,001”。在 1001 个元素的数组中找到 1 个元素的概率不应该是 1/1001 而不是 1000/1001 吗？样本空间不是等于 1001 且有利的结果数不是等于 1 吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm data-structures probability probability-theory reservoir-sampling

【解决方案1】：

有 1,001 个元素。其中有 1,000 个在样本中。一种是在样本之外。因此，特定元素是外部元素的概率是 1001 分之 1，它是样本内千种元素之一的概率是 1000 分之 1001。

【讨论】：

【解决方案2】：

我发现下面的论点更清楚。让S 成为第一个1000 元素的集合；让e 表示流中的最后一个元素（例如第 1001 个元素）。一组 1001 个元素有 {1001 choose 1000}=1001 可能的 size-1000 个子集，并且您希望所有这些子集都具有相同的存储在数据结构中的概率（这个不变量应该在每次新元素到达时保持）。

包含e 的 1001 个元素的 size-1000 子集的数量是多少？好吧，既然e 是固定的，我们还有1000 元素可供选择，我们将选择999 个元素，因此有{1000 choose 999} = 1000 这样的子集。

e 在S 中的概率因此应该是：{1000 choose 999} / {1001 choose 1000} = 1000/1001（即包含e 的大小为 1000 的子集的数量除以所有大小为 1000 的子集的数量）。

{n choose k} 我表示binomial coefficient。

【讨论】：