循环浮点数中的总和超过允许值

Question

我最近创建了这个简单的程序来计算平均速度。

平均速度 = Δx / Δt

我选择 x 作为 t 的函数 x = t^2

因此v = 2t

另外，avg v = (x2 - x1) / (t2 - t1)

我选择的区间是 t = 1s to 4s。暗示 x 来自 1 to 16

因此 avg v = (16 - 1) / (4 - 1) = 5

现在的程序：

#include <iostream>

using namespace std;
int main() {
    float t = 1, v = 0, sum = 0, n = 0;  // t = time, v = velocity, sum = Sigma v, n = Sigma 1
    float avgv = 0;

    while( t <= 4 ) {
        v = 2*t;
        sum += v;
        t += 0.0001;
        n++;
    }
    avgv = sum/n;
    cout << "\n---->  " << avgv << "  <----\n";
    return 0;
}

我使用非常小的时间增量来计算很多时刻的速度。现在，如果 t 的增量为 0.001，则计算出的 avg v 为 4.99998。
现在，如果我将 t 的增量设为 0.0001，则 avg v 变为 5.00007！

进一步减少增量到 0.00001 得到 avg v = 5.00001

为什么会这样？

谢谢。

Answer 1

在基数中，2 0.0001 和 0.001 是周期数，因此它们没有精确的表示。其中一个被四舍五入，另一个被四舍五入，所以当你把很多它们相加时，你会得到不同的值。

这与十进制表示中发生的情况相同，如果您选择相应的数字求和（假设每个变量可以包含 3 个十进制数字）。 比较：

a = 1 / 3; // a becomes 0.333
b = a * 6; // b becomes 1.998

与：

a = 2 / 3; // a becomes 0.667
b = a * 3; // b becomes 2.001

两者都应该（理论上）导致2，但由于舍入误差，它们给出不同的结果

在十进制系统中，由于10 被分解为素数2 和5，只有分母只能被2 和5 整除的分数才能用有限个十进制数字表示（所有其他分数是周期性的），在以 2 为底的分数中，只有分母为 2 的幂的分数才能精确表示。尝试使用 1.0/512.0 和 1.0/1024.0 作为循环中的步骤。另外，要小心，因为如果您选择的步长太小，您可能没有足够的数字来表示 float 数据类型（即使用 doubles）