CRC多项式的原始性答案

【问题标题】：Primitivity of CRC polynomialsCRC多项式的原始性
【发布时间】：2019-02-28 22:48:51
【问题描述】：

我在网上发现了以下关于 CRC 的性能：

原始多项式。这对于 HD=3 和良好的 HD=2 具有最佳长度超过该长度的性能。

我不明白。 HD=3 的最佳长度是可以理解的；但是良好的 HD=2 性能意味着什么？ AFAIK 所有 CRC 在 HD=2 处具有无限数据长度。

那么对于原始多项式，“高于该长度的良好 HD=2 性能”是什么意思？

【问题讨论】：

标签： crc

【解决方案1】：

...对于 HD=3 具有最佳长度，并且在该长度之上具有良好的 HD=2 性能。

该声明措辞不佳。我在此网页底部的“符号：”下找到它

https://users.ece.cmu.edu/~koopman/crc

在我发现的这篇文章和其他文章中，缩写“HD”表示 CRC 的最小汉明距离：对于 HD=k+1，那么 CRC 可以检测到消息中任意长度的 k 位错误模式（如表中所示）。正如您所说，“所有 CRC 在 HD=2 处具有无限数据长度”。

“超过该长度的良好 HD=2 性能”这一短语的用法令人困惑。上面的网站链接到下面的网站，其中包含声明“HD=2 长度始终是无限的，因此始终不在此列表中。”

https://users.ece.cmu.edu/~koopman/crc/notes.html

Wiki hamming distance 解释了误码检测和汉明距离之间的关系：“当且仅当其任意两个码字之间的最小汉明距离至少为 k+1 时，才称码 C 为 k 错误检测" 正如您所说，“所有 CRC 在 HD=2 处具有无限数据长度”，这意味着所有 CRC 都可以检测到任何单个位错误，而不管消息长度如何。

至于“HD=3 的最佳长度”，这意味着能够检测到 2 位错误，请考虑基于 CRC 多项式的linear feedback shift register，使用任何非零值初始化，如果您循环足够多的寄存器次，它将以该初始值结束。对于基于 n+1 位原始多项式的 n 位 CRC，寄存器将在重复之前循环遍历所有 2^n - 1 个非零值。不会发生无法检测到 2 位错误的消息的最大长度（即数据长度加上 CRC 的长度）为 2^n - 1。对于长度为 2^n 或更大的消息，则为任何“i”，如果 bit[0+i] 和 bit[(2^n)-1+i] 有错误，原始 CRC 将无法检测到 2 位错误。如果 CRC 多项式不是原始的，则 failproof 2 错误位检测的最大长度将减小，而不是“最优”。

对于基于任何 CRC 多项式的线性反馈移位寄存器，初始化为任何非零值，无论它循环多少次，它都不会包含零值。这是解释为什么“所有 CRC 在 HD=2 处具有无限数据长度”（能够检测单个位错误）的一种方式。

【讨论】：

在阅读了您的帖子后，我觉得我的问题是由于措辞不当引起的。 “汉明距离/HD”一词显然有两种含义。第一个是“任何不可检测错误的最低权重”（又名“最低 HD”）。第二个是“数据不同的位置数”。我猜提到的来源使用这两种含义的同义词。假设第二个含义，引用是有意义的。
唉，我的假设是错误的。请参阅此表：users.ece.cmu.edu/~koopman/crc/crc6.html {数据大小}以 HD=3 开头（读取“最小 HD”）。 HD=2 未在此处列出，因为数据大小是无限的。原始 (*p) 多项式在 HD=3 时是最优的（如所引用的）。我仍然不明白注释页面中的“高于该长度的良好 HD=2 性能”。
为什么你认为 Koopman 在users.ece.cmu.edu/~koopman/crc/notes.html 的页面已经过时了？您在哪里找到了更新的页面？
@Silicomancer - 我更新了我的答案。术语“汉明距离”是指两个消息（代码字）之间不同比特的数量，因此汉明距离为 2 可能意味着 2 比特错误与有效消息。但是在我发现的文章中，缩写“HD”代表错误检测（或纠正）代码的最小汉明距离，例如 CRC。如果 HD=k+1，则 CRC 可以检测到消息中的多达 k 位错误，最长可达表中所示的某个长度。正如您所说，“所有 CRC 在 HD=2 处具有无限数据长度”。
@Silicomancer - 请注意，写“良好的 HD=2 性能”和“HD=2 长度始终是无限的”是同一位作者。我建议改写第一句话。

【解决方案2】：

作者说：“与许多其他多项式相比，通常原始多项式在 HD=2 时往往具有相当好的（即低）权重。我已经有一段时间没有看了，但我认为在所有情况下都在上面最低权重多项式的 HD=2 断点始终是原始的。”

对于某些算法实现，低权重可以提供更快的计算。

【讨论】：

对于其他阅读本文的人来说，低权重意味着多项式中（非零）系数的数量。原始多项式没有自然趋势具有低权重，必须“搜索”它们。通常，较低权重的计算速度没有差异，因为软件通常使用表格，而硬件使用伽罗瓦移位寄存器，其中 XOR 是并行完成的。较低的权重确实减少了硬件中 XOR 门的数量。对于使用无进位乘法的软件，例如 X86 pclmulqdq，乘法时间是固定的，与 1 的位数无关。
关于计算我认为你是对的。在现实中没有人使用按位算法。关于原始多项式的低权重，作者所说的有点不同。我现在正在使用作者的措辞。