这个乘法算法的时间复杂度是多少？

Question

对于经典的面试问题“如何在没有乘法运算符的情况下执行整数乘法？”，最简单的答案当然是 C 中的以下线性时间算法：

int mult(int multiplicand, int multiplier)
{
    for (int i = 1; i < multiplier; i++)
    {
        multiplicand += multiplicand;
    }

    return multiplicand;
}

当然，还有更快的算法。如果我们利用向左移位相当于乘以 2 的移位次数的幂的性质，我们可以向上移位到最接近的 2 的幂，并使用我们之前的算法相加从那里。所以，我们的代码现在看起来像这样：

#include <math.h>

int log2( double n )
{
    return log(n) / log(2);
}

int mult(int multiplicand, int multiplier)
{
    int nearest_power = 2 ^ (floor(log2(multiplier)));
    multiplicand << nearest_power;
    for (int i = nearest_power; i < multiplier; i++)
    {
        multiplicand += multiplicand;
    }

    return multiplicand;
}

我无法确定该算法的时间复杂度。我不相信O(n - 2^(floor(log2(n)))) 是表达这一点的正确方式，尽管（我认为？）它在技术上是正确的。谁能提供一些关于这方面的见解？

Answer 1

mulitplier - nearest_power 可以大到multiplier 的一半，并且因为它趋向于无穷大，所以常量0.5 没有关系（更不用说我们去掉了 Big O 中的常量）。因此循环是O(multiplier)。我不确定位移位。

编辑：我对位移进行了更多的研究。正如 gbulmer 所说，它可以是O(n)，其中n 是移位的位数。但是，在某些架构上也可以是O(1)。见：Is bit shifting O(1) or O(n)?

但是，在这种情况下没关系！ n > log2(n) 表示所有有效的 n。所以我们有O(n) + O(multiplier)，它是O(2*multiplier)的子集，由于上述关系，因此整个算法是O(multiplier)。

Answer 2

找到最近的幂是为了让你的函数运行时可以接近运行时 O(1)。当 2^nearest_power 非常接近您的加法结果时，就会发生这种情况。

在幕后，整个“2 次方”都是通过位移来完成的。

因此，为了回答您的问题，您的代码的第二个版本仍然是更糟糕的线性时间：O（乘数）。
您的答案 O(n - 2^(floor(log2(n)))) 也不正确；它非常精确，可能很难在您的脑海中快速找到界限。

Answer 3

编辑

让我们看看第二个贴出的算法，从：

int nearest_power = 2 ^ (floor(log2(multiplier)));

我相信计算 log2 的结果是 O(log2(multiplier))

然后nearest_power 得到区间[multiplier/2 to multiplier]，其大小为multiplier/2。这与查找正数的最高设置位相同。

所以for循环是O(multiplier/2)，出来1/2的常数，所以是O(n)

平均而言，它是间隔的一半，即 O(multiplier/4)。但这只是常数1/4 * n，所以还是O(n)，常数更小了还是O(n)。

更快的算法。

我们的直觉是我们可以在 n 步中乘以一个 n 位数字

在二进制中，这是使用 1 位移位、1 位测试和二进制加法来构建整个答案。这些操作中的每一个都是 O(1)。这是长乘法，一次一位数。

如果我们对 n 使用 O(1) 操作，一个 x 位数，它是 O(log2(n)) 或 O(x)，其中 x 是数字中的位数

这是一个 O(log2(n)) 算法：

int mult(int multiplicand, int multiplier) {
    int product = 0;

    while (multiplier) {
        if (multiplier & 1) product += multiplicand;
        multiplicand <<= 1;
        multiplier >>= 1;
    }

    return product;
}

这基本上就是我们进行长乘法的方式。

当然，明智的做法是使用较小的数字作为乘数。 （我将把它作为练习留给读者:-)

这仅适用于正值，但通过测试和记住输入的符号，对正值进行操作，然后调整符号，它适用于所有数字。