这个函数的增长顺序是什么？答案

【问题标题】：What is the order of growth of this function?这个函数的增长顺序是什么？
【发布时间】：2014-05-21 20:56:56
【问题描述】：

我是算法和大0的新手。这个函数的增长顺序是什么？

我做了一个 println 并且 f(10) 运行了 15 次。 f(20) 运行 31 次。

在我看来它像 log(N)*N/2。所以是logarithmic 还是linearithmic？

   static long f (long N) {
        long sum = 0;
        for (long i = 1; i < N; i *= 2)
            for (long j = 0; j < i; j++)
                sum++;
        return sum;
    }

【问题讨论】：

这是作业吗？告诉我们您是如何推理的以及推理的方法是什么，我们会告诉您您解决问题的方式是否正确。

标签： time-complexity big-o

【解决方案1】：

运行时间为 O(n)。要看到这一点，请注意内部循环在第一次迭代中运行 1 次，在下一次迭代中运行 2 次，在下一次迭代中运行 4 次，更一般地，在 2^{上运行 2ⁱ 次第 i 次迭代。外层循环在 lg n 次迭代后停止，因为它不断加倍，所以完成的总工作量为}

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^{lg n}

这是sum of a geometric series，计算结果为 2^{lg n + 1} - 1 = 2 · 2^{lg n} - 1 = 2n - 1 = O(n )。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

【解决方案2】：

内循环 j 计数 i 次 -> 最大值为 n

外循环从0计数到n，每次乘以2，所以是lgn次。

所以总数是 o(nlgn)

【讨论】：

这是一个正确的界限，但并不严格。请参阅我的答案以获得更严格的限制。
内循环并不是真正的 O(n) 是吗？它更像是来自外循环的 N of Log(N)？
@user3570795 没错。这是计数的上限，因此是 N。

【解决方案3】：

正式进行，你得到：

【讨论】：

【解决方案4】：

O(2^lgn) 应该是复杂度。指数函数的增长不仅仅是线性函数。因此 2.2^lgn=O(2^lgn) 而不是 O(n)

【讨论】：