尽量减少在指定路径上花费的时间

Question

这个问题与this one 相关，它来自于在一组点上优化路径。这里的情况如下： 一个对象在一条由二维点列表组成的指定路径上移动。 （更多的 D 是可能的，但是由于每个转弯在技术上是 2D 的，所以求解二维就可以了。）在每个点，这个对象可以通过一个最大长度是预先确定的向量来改变它的速度（分配给一个点）。路径尽头的速度无关紧要。问题是，如何确定走这条路的最短时间？这个任务有没有有效的算法？贪心算法最终可以在特殊准备数据的情况下使对象减速到爬行，甚至不能使对象能够转向其下一个指定点。后向贪心算法也存在同样的错误，以最大速度到达终点并不总是好的。

一个例子：点向量是：{(0,0), (0,1), (1,1), (2,2)}，最大长度向量是{2.0, 2.0, 3.0}。例如，该点在(0,sqrt(2)) 从 p1 移动到 p2，然后在 (sqrt(2),0) 从 p2 移动到 p3，并且 (s,s) 以 s 从 p3 到 p4 的任何最大速度移动。这可能是一个次优的解决方案，假设您从 p1 到 p2 减速 0.01，允许从 p2 到 p3 稍微加速，然后在 p3 到 p4 再加速一点，总时间可能少于这个一组速度。

Answer 1

这是一个凸优化问题，可由常见的非线性优化库解决。在 SciPy 中：

import numpy as np
from scipy import optimize

points = np.array([[0., 0.], [0., 1.], [1., 1.], [2., 2.]])
movements = np.diff(points, axis=0)
lengths = np.linalg.norm(movements, axis=1)
directions = movements / lengths[:, np.newaxis]
max_acceleration = np.array([2., 2., 3.])

fun = lambda x: np.sum(lengths / x)
x0 = np.repeat(.5 * np.amin(max_acceleration), len(movements))
bounds = [(0., max_acceleration[0])] + [(0., None)] * (len(movements) - 1)
constraints = [
    dict(
        type='ineq',
        fun=lambda x, j: max_acceleration[j + 1] - np.linalg.norm(x[j] * directions[j] - x[j + 1] * directions[j + 1]),
        args=(i, )) for i in range(len(movements) - 1)
]
x = optimize.minimize(fun, x0, bounds=bounds, constraints=constraints).x
print(x)