生成均匀随机的好奇二叉树

Question

如果一个有 N 个节点的二叉树是一个节点值为 1、2、..、N 并且满足以下属性的二叉树，那么它就是“好奇”的。

• 树的每个内部节点都恰好有一个大于它的后代。
• 1,2, ..., N 中的每个数字在树中只出现一次。

奇异二叉树的例子

  4
 / \
5   2
   / \
  1   3

你能给出一个算法来生成一个具有 n 个节点的均匀随机好奇二叉树，它在 O(n) 保证时间内运行吗？

假设您只能使用随机数生成器，它可以为您提供范围 [1, k] 中任意 1

O(nlogn) 时间的解决方案也会得到我的支持。

请遵循标记二叉树不同的通常定义，以考虑不同的好奇二叉树。

Answer 1

“好奇”二叉树和标准堆之间存在双射。也就是说，给定一个堆，递归地（从顶部开始）将每个内部节点与其最大的子节点交换。而且，正如我不久前在 StackOverflow 中了解到的，堆相当于 1,2,...,N 的排列。所以你应该做一个随机排列，把它变成一个堆；或以与进行随机排列相同的方式递归地创建堆。之后，您可以将堆转换为“奇怪的树”。

Answer 2

啊哈，我想我知道如何在 O(N) 时间内创建一个随机堆。 （之后，使用 Greg Kuperberg 的答案中的方法转换为“好奇”二叉树。）

edit 2：用于直接生成随机最小堆的粗略伪代码。最大堆是相同的，只是插入到堆中的值是相反的数字顺序。

struct Node {
   Node left, right;
   Object key;
   constructor newNode() { 
     N = new Node; 
     N.left = N.right = null; 
     N.key = null;
   }
}

function create-random-heap(RandomNumberGenerator rng, int N)
{
   Node heap = Node.newNode();
   // Creates a heap with an "incomplete" node containing a null, and having
   // both child nodes as null.

   List incompleteHeapNodes = [heap];
   // use a vector/array type list to keep track of incomplete heap nodes.

   for k = 1:N
   {
      // loop invariant: incompleteHeapNodes has k members. Order is unimportant.

     int m = rng.getRandomNumber(k);
     // create a random number between 0 and k-1
     Node node = incompleteHeapNodes.get(m);
     // pick a random node from the incomplete list, 
     // make it a complete node with key k.
     // It is ok to do so since all of its parent nodes
     // have values less than k.
     node.left = Node.newNode();
     node.right = Node.newNode();
     node.key = k;

     // Now remove this node from incompleteHeapNodes
     // and add its children. (replace node with node.left,
     // append node.right)

     incompleteHeapNodes.set(m, node.left);
     incompleteHeapNodes.append(node.right);

     // All operations in this loop take O(1) time.
   }

   return prune-null-nodes(heap);
}

// get rid of all the incomplete nodes.
function prune-null-nodes(heap)
{
   if (heap == null || heap.key == null)
      return null;
   heap.left = prune-null-nodes(heap.left);
   heap.right = prune-null-nodes(heap.right);
}