Haskell Hermite 多项式实现答案

【问题标题】：Haskell Hermite polynomials implementationHaskell Hermite 多项式实现
【发布时间】：2017-11-20 16:22:04
【问题描述】：

Haskell 允许以非常简洁的方式表示循环函数。例如，包含斐波那契数的无限列表可以定义如下：

fibs :: [Integer]
fibs = 1 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

我正在处理“概率论者”Hermite 多项式，它具有以下递归关系：

对于给定的 x，构造无限的第 n 个 Hermite 多项式列表的最佳方法是什么？

【问题讨论】：

标签： haskell math recursion hermite

【解决方案1】：

我们可以这样写：

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : x : zipWith3 (\hn2 hn1 n1 -> x*hn1 - n1*hn2) s ts [1..]

其中1 : x : ...的第一个元素是hermite的第一个元素（可以填写其他值）。

对于下一个，我们压缩原始值s（以H0 开头）、s 的尾部ts（以H1 开头）和索引（以2, 3, ...) 并执行操作x*hn1 - x*hn2（nh1 代表 H_n-1，nh2 代表H_n-2)，所以我们每次都计算下一个元素。

x = 0.75 的前 11 个值是：

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,0.75,-0.4375,-1.828125,-5.859375e-2,7.2685546875,5.744384765625,-39.30303955078125,-69.68797302246094,262.1583366394043,823.8105096817017]

所以第一个值是 1，第二个是 x，第三个是 x*x-2，第四个是 x*x*x-2*x-3*x，以此类推。

话虽如此，如果我没记错的话，Hermite 多项式的递归公式是：

H_n(x) = 2×x×H_n-1(x)-2×(n-1)H_{n -2}(x)

而不是问题中引用的那个。

在这种情况下，公式如下：

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : 2 * x : zipWith3 helper s ts [1..]
          helper hn2 hn1 n1 = 2 * (x * hn1 - n1 * hn2)

那么前11个值是：

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,1.5,0.25,-5.625,-9.9375,30.09375,144.515625,-144.3515625,-2239.74609375,-1049.994140625,38740.4384765625]

根据Wolfram article，哪个是正确的：

H₀ = 1

H₁ = 2*x

H₂ = 4&dot;x² - 2

H₃ = 8&dot;x³ - 4&dot;x

H₄ = 16&dot;x⁴ - 48&dot;x² + 12

这与我们获得的值完全一致：

Prelude> let x = 0.75 in [1,2*x,4*x*x-2,8*x*x*x-4*x,16*x*x*x*x-48*x*x+12]
[1.0,1.5,0.25,0.375,-9.9375]

【讨论】：

是的，我在我的公式中打错了（n 而不是 rhs 上的 n-1），现在它已经更正了。但是，您所说的公式是所谓的“物理学家” Hermite 多项式，我不需要。您能否根据我所做的更改更正您的答案？