使用归纳法寻找复杂性

Question

我被要求证明：

对于每个 n>=n0 和 T(n) = T(an) + T(bn) + n 对于 n>n0, a+bT(n) = O(n)。

提示：通过归纳证明：T(n) ≤ cn 是一个合适的 c。

我想知道在这种情况下如何通过归纳证明。

谢谢。

Answer 1

如果我们假设an 和bn 的不等式成立，那么

现在我们不知道这个常量和c之间的确切关系；但是如果我们看一下

但是a + b可以任意接近1，这意味着c可以任意大。这有点违背 O 表示法的观点，因为常数必须是有限的。因此我们取下界：

因此我们找到了假设可以成立的c 的范围。 1 的下限是因为您的域n >= n0 表示T(n0) = n0。这里的常数是 1，所以c 必须至少为 1 才能满足假设的初始界限。这也将a 和b 的值限制为正数。

但要使假设成立，a, b 可以在[0, 1) 中取任何 值，这意味着如果边界对于T(n) 是正确的，那么对于任何更大的参数也是正确的例如T(n + 1).

所以我们知道：

1. n = n0 的假设成立
2. 如果n 为真，那么n + 1 也为真

因此通过归纳，T(n) <= cn 表示任何 n >= n0，其中 c 满足之前的界限。