Dijkstra 算法在 O ((V+E) log W) 时间内计算从给定源顶点 s 到的最短路径

Question

G (V, E) 是具有非负权重函数 W 的加权有向图： E -> {0, 1, 2, 3, 4... W } 其中 W 是任何非负整数。我想修改 Dijkstra 算法以计算从给定源顶点 s 在 O ((V+E) log W) 时间内的最短路径。

Answer 1

让我们采用一个标准的带优先级队列的 Dijkstra 算法并稍微改变一下：

1. 我们将有一个从 int（距离）到向量的映射，以使所有顶点保持给定距离。

2. 我们将从第一个向量中弹出元素以在每次迭代时获取当前顶点，并在向量变为空时删除一个键。

3. 当我们将元素添加到队列中时，我们会将其推送到相应的向量中。

地图中任意点最多有W + 1 不同的键。为什么？设v 为当前顶点，d[v] 为其距离。所有小于d[v] 的键都被删除。任何未发现的顶点都不在地图中。对于任何发现的顶点ud[u] <= d[v] + max_edge_lenght = d[v] + W。因此，映射中的任何键都必须在[d[v], d[v] + W] 范围内。

地图的大小是O(W)，因此每个操作都在O(log W) 时间内工作（从向量中推/弹出一个元素是O(1)）。

当然，它只有在 W 相对较小时才有用（否则，您可以使用标准的 O((V + E) log V) 实现）。