我们如何得出这个成本的结论？

Question

我想求出以下合并排序算法的代价：

  Merge(A,p,q,r)
       n1=q-p+1;
       n2=r-q;
       We create the sequences:
       L[1 .... n1+1] and R[1.... n2+1]
       for i<-1 to n1
           L[i]<-A[p+i-1]
       for j<-1 to n2
            R[j]<-A[q+j]
       L[n1+1]<-oo  ,   R[n2+1]<-oo   ( sentinel elements )

       Composition:
       i<-1, j<-1
       for k<-p to r
          if L[i]<=R[j] then
              A[k]<-L[i]
              i<-i+1
          else
              A[k]<-R[j]
              j<-j+1


    MERGESORT(A,p,r)
       if p<r then
          q<-floor((p+r)/2)
          MERGESORT(A,p,q)
          MERGESORT(A,q+1,r)
          Merge(A,p,q,r)

根据我的课本，成本是T(n)=2T(n/2)+cn,n>1 and T(n)=c,n=1

但我还没有真正理解我们如何得出这种关系。

你能给我解释一下吗？

Answer 1

T(n) = 2T(n/2) // two reucrsive calls, each on half the array
     + cn      // the cost of merge. Merge runs in linear time.

我们可以这样写

T(n) = O(nlogn)

因为

T(n) = 2T(n/2) + cn 
     = 4T(n/4) + cn + cn 
     = 8T(n/8) + cn + cn + cn 
     = ... (after log times)
     = n*T(n/n) + cn + cn + cn + ... + cn (where cn appears log(n) times)
     = c*logn*n

Answer 2

在每次递归中，您都将大小为 n 的问题 T(n) 拆分为 两个 问题 T(n/2 ) 的大小为 n/2，因此您得到 2*T(n/2)。在最后一次递归之后，您必须将已排序的列表重新合并在一起。合并排序列表在O(n)中完成，相当于c*n。

所以总成本是T(n)=2T(n/2)+cn。